LegalizePortaria n.º 23601 — Aprova os programas do ciclo preparatório do ensino secundário, instituído pelo Decreto-Lei n.º 47480
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Aprova os programas do ciclo preparatório do ensino secundário, instituído pelo Decreto-Lei n.º 47480
1.º ano
Introdução
Antes da formação de Portugal
I) A Terra e o Homem:
O aparecimento da vida.
O Homem.
Relações entre o Homem e o meio geográfico: tipos humanos e tipos de habitação. Formas de adaptação.
A agricultura, o pastoreio, as primeiras indústrias. Manifestações artísticas e religiosas.
II) A Península Ibérica:
Os primeiros habitantes. Iberos, Celtas e Celtiberos.
Contactos com as civilizações mediterrânicas. Os Lusitanos.
Conquista romana e romanização da Península.
O cristianismo.
Invasões bárbaras. O reino visigótico.
Os Mouros. Conquista da Península. A civilização árabe.
As Cruzadas e a reconquista cristã.
O Condado Portucalense e a fundação de Portugal.
1.ª época
A formação de Portugal
A) A conquista do território:
Breve e sintética recapitulação do aprendido na instrução primária.
B) Povoamento e organização político-sócio-económica:
O território - Suas características nos séculos XII a XIV, em comparação com as actuais.
Formas de povoamento - A cidade, o senhorio, as póvoas marítimas e os concelhos.
A organização política - O rei e as cortes.
A organização social - O clero, a nobreza e o povo.
A organização económica - A produção e o comércio. A agricultura. A indústria. O comércio interno e o comércio externo. A política de fomento dos reis da 1.ª dinastia. D. Dinis e D. Fernando. O desenvolvimento da marinha e as primeiras navegações.
A vida quotidiana.
C) A acção da Igreja:
As ordens militares e religiosas na conquista e no povoamento.
O ensino e a assistência.
O ensino. Desenvolvimento cultural. O Estudo Geral.
D) As transformações do século XIV:
A crise de 1385. A luta pela independência. O Mestre de Avis, Nuno Álvares e João das Regras.
O novo rei e a nova sociedade. Os filhos de D. João I.
2.ª época
Expansão de Portugal
A) Descobrimentos e conquistas:
Causas e condições da expansão. O factor religioso.
A conquista de Ceuta.
Os descobrimentos henriquinos.
As conquistas marroquinas e o seu significado.
A continuação dos descobrimentos: o caminho marítimo para a Índia e a descoberta do Brasil.
B) Organização política:
A centralização administrativa no território metropolitano.
Os vice-reis da Índia e o Império do Oriente.
C) Geografia da metrópole e do ultramar:
Modificação no revestimento vegetal e na distribuição demográfica de Portugal continental.
Geografia das possessões portuguesas ultramarinas nos séculos XV e XVI: ilhas do Atlântico, territórios africanos, Índia, Brasil, Macau e Timor.
Os sistemas de povoamento. Valorização económica.
D) A sociedade:
Modificações sociais.
A cultura.
A vida quotidiana.
E) A acção da Igreja:
S. Francisco Xavier e o apostolado do Oriente.
Os padres jesuítas e a evangelização dos índios do Brasil. José de Anchieta e Manuel da Nóbrega. A penetração no interior.
3.ª época
A união com a Espanha
Antecedentes da crise de 1580. A resistência do Prior do Crato.
O domínio filipino e as suas consequências políticas, sociais, económicas e culturais.
A defesa dos territórios ultramarinos.
Os Holandeses no Brasil.
O descontentamento geral e o enfraquecimento de Espanha.
O motim de Évora. A conspiração - João Pinto Ribeiro.
2.º ano
4.ª época
A) A Restauração:
A Revolução de 1640 e a Guerra da Independência.
A restauração do ultramar. A acção dos portugueses no Brasil.
A política de D. João IV, de D. Luísa de Gusmão e do conde de Castelo Melhor.
O fortalecimento do poder real.
B) Reformismo:
O desenvolvimento do Brasil. Os bandeirantes. A descoberta das minas.
A política de fomento económico e cultural nos reinados de D. Pedro II, D. João V e D. José. O marquês de Pombal.
Propósitos do nivelamento social.
A reforma da instrução.
Inovações e modificações nos costumes.
A vida quotidiana.
C) A crise do início do século XIX:
As invasões francesas.
A corte do Brasil e as suas consequências.
A revolta de 1820. A independência brasileira. A guerra civil.
5.ª época
O constitucionalismo
A) O constitucionalismo monárquico:
A vitória liberal de 1834. A Carta Constitucional.
Nova organização política e económica. Nova estruturação social.
Desenvolvimento de transportes.
Desenvolvimento da instrução.
Viagens de exploração no continente africano. Ocupação efectiva dos territórios do interior. Novas culturas. Missionários, pioneiros e heróis da ocupação. Abolição da escravatura e da pena de morte.
A vida quotidiana.
B) O constitucionalismo republicano:
A implantação da República e a nova Constituição.
A intervenção na guerra de 1914-1918.
A Revolução de 28 de Maio de 1926. A Constituição Política de 1933.
Povoamento e desenvolvimento das províncias ultramarinas.
A nossa época
Como vivem os Portugueses:
Estudo elementar do meio local, considerado como paisagem humanizada, no sentido de investigação acerca do género de vida da população:
A) Nos meios rurais:
Tipo de habitação. Influências históricas e sociais. Origem da povoação em que está situada a escola;
Actividade económica da população. Vias de comunicação;
Interesses espirituais e morais.
B) Nos outros meios:
Quadro geral do território metropolitano: principais centros agrícolas, industriais e comerciais. Organização política e administrativa. Rede de transportes. Centros culturais. Interesses espirituais. Tendências para o futuro.
Quadro geral das províncias ultramarinas: mesmos temas.
Síntese final:
O território nacional e a população portuguesa: constantes geográficas e históricas. A variedade de territórios e raças e a unidade nacional. O sentimento português de uma comunidade universalista. Papel desempenhado pelo cristianismo nesse sentido. Prospecção.
Moral e Religião
Considerações gerais
«A educação cristã é uma obra contínua, permanente e progressiva» (Pio XII). Aprofundar as noções de vida cristã, já adquiridas, e fornecer novos elementos, indispensáveis à formação cristã dos alunos do ciclo preparatório, eis a finalidade geral deste programa.
A 4.ª classe da escola primária põe termo a uma fase da vida infantil. A partir desse momento, a criança tem necessidade psicológica de mudar, de ser tratada de outro modo e de aprender coisas novas, de acordo com os interesses que então se começam a manifestar. No campo da formação religiosa e moral, a mesma mudança se impõe.
Entre outras características psicológicas das crianças dos 11 aos 13 anos, este programa procurou ter em conta principalmente as seguintes:
Idade da descoberta: as crianças desta idade desejam que se lhes dê qualquer coisa de novo, que satisfaça a sua ânsia de descobrir novas coisas, novas pessoas, novos aspectos do mundo. Desinteressam-se quando têm a impressão de que lhes damos coisas «já vistas» ou «já conhecidas».
Houve, pois, a preocupação de abrir às crianças do ciclo preparatório o mundo novo (e quase desconhecido para elas) da Bíblia e da Liturgia, onde se lhes oferece um campo de descoberta quase inesgotável.
Idade da actividade pessoal e livre: nesta idade a actividade pessoal está ìntimamente ligada à formação da personalidade. A escola, que faz apelo à actividade, à descoberta, ao trabalho individualizado, ajudará a formar e a consolidar a personalidade dos seus alunos.
As crianças desta idade amam o trabalho em que se sentem mais elas próprias, em que se sentem alguém, em que se sentem mais livres!
No desenvolvimento deste programa haverá, pois, o cuidado de fazer apelo constante a esta característica psicológica.
Uma actividade séria, bem escolhida e equilibrada, ajudará a consolidar a personalidade cristã dos alunos.
Todo o programa haverá de ser aprofundado, repensado e revido por meio de actividades individuais e colectivas: apresentação de cartas geográficas, fotografias, audição de gravações e projecções; leituras e investigações nos Evangelhos, contacto com as cerimónias litúrgicas; desenho e trabalhos práticos, recurso ao quadro preto e outros instrumentos didácticos e meios audiovisuais de ensino; canto; fichas de trabalho individual e individualizado, etc.
Idade do herói: a criança desta idade começa a deixar de ser conformista e procura imitar as pessoas que conseguiram despertar a sua admiração ou o seu entusiasmo. Seguir um ideal, concretizado num herói, é uma das características do seu dinamismo interior.
Por esta razão, o presente programa esforçou-se por apresentar as grandes verdades da fé e da moral cristãs, concretizadas e vividas pelos grandes heróis do Antigo e do Novo Testamento, bem como da vida actual da Igreja.
Idade dos interesses históricos e geográficos: dispondo já as crianças dos primeiros elementos de história e de geografia, e começando a despertar para um espírito crítico que se não contenta com simples afirmações, mas deseja saber as razões das coisas, as crianças desta idade têm necessidade psicológica de tomar contacto com os documentos que estão na base dos conhecimentos religiosos e das verdades da nossa fé.
Por esta razão se fará descobrir, no desenvolvimento de todo o programa, o bem-fundado desses documentos.
Idade em que se acentuam as diferenças psicofisiológicas entre rapazes e raparigas: embora não seja absolutamente indispensável um programa de Moral e Religião para cada sexo, é, no entanto, de toda a conveniência que o professor procure adaptar a sua exposição às características psicológicas dos seus alunos.
A psicologia e as necessidades íntimas de cada sexo são bastante diferenciadas, principalmente a partir dos 11-12 anos, idade em que as raparigas tomam um apreciável avanço no que se refere ao desenvolvimento psicofisiológico.
Rapazes e raparigas, como aliás homens e mulheres, são conduzidos na vida pela razão e pelo sentimento; mas cada sexo à sua maneira. Não pode este dado psicológico deixar de ser tomado na devida conta, para bem orientar o ensino e a formação.
O rapaz age mais por convicção, por demonstração clara: é mais positivo, mais dado à acção externa e prática, mais preciso. A rapariga age mais pelo sentimento e pela persuasão, mais propensa à acção interior e subjectiva. O rapaz é mais sensível aos valores de coragem, energia, poder, triunfo, principalmente quando estes valores se evidenciam em acções de construir, defender ou conquistar.
A rapariga é mais sensível aos valores de acolhimento e dedicação, de amor, de piedade, de protecção.
Na vida de um santo ou de um herói, por exemplo, os rapazes admiram sobretudo as actividades externas, as raparigas admiram mais os dramas interiores, as reacções provocadas nas almas, as amizades ou inimizades suscitadas.
O professor deve, por conseguinte, pôr em evidência um ou outro aspecto das personagens bíblicas, conforme se trate de uma turma de rapazes ou de raparigas.
Idade que precede a crise da adolescência: normalmente, a adolescência é um período de crise psicológica, social, religiosa e moral.
Nesta crise a maior dificuldade irá recair sobre o problema religioso.
Tudo o que se aprendeu e se viveu, no campo da vida cristã, será posto em causa, discutido e, finalmente, aceite ou repelido, conforme os adolescentes ficarem ou não convencidos da solidez do edifício religioso em que viveram até ali.
Torna-se, portanto, absolutamente indispensável fornecer às crianças, nestes dois anos do ciclo preparatório, uma sólida (embora elementar) formação bíblica e litúrgica, tendo como centro a vida e a imitação de Cristo. Esta formação constituirá a base fundamental da perseverança cristã, nos anos seguintes.
Objectivos
Todo o sistema educativo digno deste nome deve contribuir para o aperfeiçoamento moral dos indivíduos, com vista ao bem geral da sociedade. Por isso, procurará subordinar a utilização das aquisições culturais a certos padrões de conduta moral, evitando os perigosos resultados do emprego dos conhecimentos científicos e das conquistas da técnica, quando feito à margem da Moral e do Direito.
«Na crise do mundo moderno em que progrediu extraordinàriamente a capacidade humana nos domínios científicos e tecnológicos, o problema dos deveres e das responsabilidades, a rectidão da consciência e da conduta, a estrutura do carácter e a elevação espiritual adquirem uma extraordinária relevância, pela sua projecção na vida da sociedade. A formação da consciência moral é assim hoje um problema da maior importância, cumprindo-lhe até o primeiro lugar, pois condiciona a eficiência do ponto de vista humano e social de todas as capacidades atingidas ao longo das restantes actividades educativas».
Consciente das suas responsabilidades, o Estado português «aceita o carácter absoluto dos valores característicos da civilização histórica que criou a Nação ...» e que «hão-de necessàriamente informar qualquer sistema educativo português».
Mas para que estes valores tradicionais portugueses tenham realmente um «carácter absoluto» e não oscilem ao sabor das conveniências ou da pressão do ambiente social, torna-se indispensável fundamentá-los em convicções pessoais positivas e fortes de carácter religioso.
Na disciplina de Moral e Religião o primeiro lugar cabe ao ensino e à formação religiosa, porquanto a Moral deve dimanar sempre da Religião, da qual é corolário prático. Com efeito, sem o fundamento dos princípios religiosos, toda a moral se torna inconsistente, subjectiva, fluida, ineficaz.
Para Portugal os fundamentos religiosos da civilização e da vida social do País, são os valores cristãos definidos pela Religião Católica, que é a religião professada pela quase totalidade dos portugueses.
A Nação Portuguesa não pode, por conseguinte, manter os padrões de moralidade individual, social e cívica que a criaram e têm feito a sua grandeza, se não aceitar ao mesmo tempo as verdades da Religião Católica, fundamento dessa mesma moralidade.
«Na sociedade portuguesa, a fé cristã constitui factor de estruturação do carácter e da conduta e define um padrão de convivência, de atitudes, de emotividade, de linguagem perante os valores espirituais e materiais e de compreensão entre os homens, que a torna factor de unificação ...» O factor religioso é, pois, «uma realidade cultural, histórica e social cujo conhecimento insuficiente diminui por si só a capacidade de compreensão e de interpretação de vários outros factores».
Tudo, pois, que sirva a formar cristãmente os alunos serve também a Nação como serve o homem. Os programas foram organizados, tendo em atenção as características psicológicas das crianças dos 11 aos 13 anos. Mas, por isto mesmo convém ter sempre particularmente presente um certo número de pontos de educação, por corresponderem mais de perto ao caso pessoal dos alunos deste ciclo: deveres de família (amor, respeito, obediência), necessidade de adquirir bons hábitos (disciplina, amor ao trabalho, pontualidade, asseio, boa camaradagem, cortesia), consciência moral delicada (amor da verdade, lealdade, respeito do alheio, pureza de costumes, firmeza de carácter, fidelidade), cumprimento dos deveres religiosos.
Métodos e normas didácticas
O ensino baseia-se na narração bíblica, perfeitamente adaptada à evolução psíquica dos alunos; acham-se estes na idade em que a narração emocional é a que melhor pode orientar os poderes afectivos e o jogo da imaginação. A doutrina religiosa como a moral hão-de brotar assim, vivas e dramáticas, da própria história bíblica, interpretada e completada à luz do magistério eclesiástico e aplicada à vida toda do aluno.
Os alunos serão postos perante os factos e personagens da Bíblia, como lição concreta da interpretação de Deus na história do mundo e na vida do homem. Assim guiados, aprenderão a conhecer, a aprofundar e a desenvolver a doutrina e a moral divinamente reveladas, como luz e norma da vida humana, sobrenaturalizada pela Fé e pela graça de Cristo. Tornar-se-á sempre necessário, para a formação séria e profunda do aluno, fazer aplicação da doutrina à sua vida quotidiana, corrigir-lhe as ideias incompletas ou mal formadas e ajudá-lo a adquirir bons hábitos.
Esta vida nova, na verdade, na esperança e na caridade, há-de o aluno, conquistado o espírito e o coração pelo Divino Mestre, procurar realizá-la em si próprio, com alegria e entusiasmo.
Na execução do programa deverão ser tidas em conta as seguintes sugestões:
Como delegado de uma autoridade docente que tem por missão transmitir a revelação feita pelo próprio Deus, o professor procurará expor, com simplicidade e clareza, os dados da Revelação e as suas consequências morais, auxiliando os alunos a cooperar livremente com a graça de Deus na aceitação dessas verdades e dessas consequências;
Por conseguinte, o professor esclarecerá os seus alunos de que o estudo da Religião e da Moral não se destina exclusivamente a enriquecer o nosso conhecimento, mas também, e principalmente, a fazer-nos tomar consciência da nossa qualidade de filhos de Deus e a viver a nossa vida de homens de acordo com essa dignidade.
Esforçar-se-á também por impregnar todas as suas aulas de uma atmosfera de espiritualidade que facilite a vivência no plano sobrenatural da Fé, e a aceitação das suas exigências, no plano concreto da vida;
Como uma verdade normalmente não se possui por completo enquanto não somos capazes de a exprimir por palavras nossas, e como, por outro lado, a expressão de uma verdade ou de um sentimento facilita e aprofunda a impressão que em nós produz essa mesma verdade ou esse sentimento, convém que o ensino inclua exercícios individuais ou colectivos que auxiliem a compreensão intelectual, favoreçam a retenção na memória e provoquem a contemplação meditativa das verdades expostas, bem como a aceitação voluntária das mesmas e das suas consequências;
Faça-se frequente apelo aos dados e aos documentos históricos, geográficos, etc., para reforçar a autenticidade do ensino ministrado;
Embora com prudência, pois seria prejudicial transformar as aulas de Moral e Religião em sessões de projecção, é bem que os professores, de tempos a tempos, passem um ou outro filme ou diapositivo para recapitular, confirmar e aprofundar o que já se ensinou; poderá ser igualmente útil o emprego de certos meios didácticos, como gravações em fita ou disco, reproduções de obras de arte, etc.;
O professor enquadrará o seu ensino, tanto quanto possível, nos planos de coordenação adoptados na escola, de modo a fazer incidir a luz da Fé e as lições de Moral sobre a formação obtida nas outras disciplinas. Por outro lado, procure também servir do ensino ministrado nestas disciplinas para esclarecer e confirmar as verdades de carácter religioso;
Tendo em conta as diferenças de psicologia, já bem características nesta idade, entre rapazes e raparigas, e a sua maneira diferente de reagir em presença das mesmas verdades, procurem os professores adaptar os seus métodos de ensino às necessidades psicológicas, morais e religiosas dos rapazes ou das raparigas, conforme a turma for constituída por uns ou por outras.
Esquematização programática
1.ª classe
O enunciado do programa deste ano é feito através de um quadro especial em que será inserida a doutrina e a formação religiosa e moral: o quadro da História da Salvação ao encontro de Cristo, segundo a Revelação bíblica. As verdades fundamentais aí contidas são a luz que esclarece o mistério da origem e do destino do homem, bem como da humanidade, e que prepara a manifestação da «Luz verdadeira que ilumina todo o homem que vem a este mundo», Jesus Cristo. Por isso mesmo, as verdades religiosas do Antigo Testamento terão de ser, em última análise, abordadas à luz de Cristo. A instrução e a formação, tanto doutrinal como moral, fluirão simultâneamente dos factos religiosos estudados. Todo o programa supõe a aplicação oportuna e constante à vida moral do aluno.
Observação preliminar:
Todos os pontos deste programa são úteis para que os alunos fiquem com uma ideia global e sintética da maneira como Deus se foi revelando, do que fez pelos homens e do que deseja que estes façam uns pelos outros. No entanto, nem todos têm igual importância formativa. Por isso os professores, tendo em conta o número de tempos lectivos de que podem dispor, darão maior desenvolvimento aos capítulos que lhes pareçam fundamentais.
A Bíblia, livro da História da Salvação:
A Bíblia é a revelação do amor de Deus para com os homens; inspiração dos livros sagrados; a quem compete dar verdadeira interpretação do que está escrito na Bíblia; importância da Bíblia e respeito que nos deve merecer.
A criação, obra do amor de Deus:
A criação do Universo: os dados da Ciência e da Revelação.
Deus entrega ao homem o domínio do mundo e torna-o Seu colaborador na obra de aperfeiçoamento do mesmo mundo.
O mistério do amor de Deus para com o homem.
Deveres do homem para com Deus e para com os outros homens seus irmãos.
O pecado, revolta contra Deus:
O pecado, desobediência a Deus e degradação do homem.
O pecado dos primeiros pais (pecado original): suas consequências para os indivíduos e para a sociedade.
Os nossos pecados e a luta que devemos travar contra eles.
O mundo sem Deus só pode conduzir os homens à infelicidade.
Deus quer salvar os homens, que O abandonaram:
Deus põe os fundamentos de um povo que Lhe pertença de modo especial: chamamento de Abraão, «o pai dos crentes». Promessas divinas feitas a Abraão; aliança de Deus com Abraão e com a sua descendência.
Os cristãos são os descendentes espirituais de Abraão e os herdeiros das promessas que Deus fez.
Os patriarcas: Isaac, Jacob, José. Lições religiosas e morais das suas vidas.
Os descendentes de Abraão multiplicam-se no Egipto, protegidos por Deus.
Deus liberta o Seu povo:
Ódio dos Egípcios aos descendentes de Abraão; as perseguições.
A primeira Páscoa dos Hebreus e suas relações com a Páscoa actual.
Manifestações do amor especial de Deus pelo Seu povo - os Hebreus ou descendentes de Abraão: liberta-os da escravidão do Egipto; guia-o e alimenta-o através do deserto.
Deus faz aliança com o Seu povo:
Moisés, guia do povo de Deus e intermediário da Aliança do Sinai.
Os Mandamentos da Lei de Deus, expressão da vontade de Deus, para que o homem consiga a perfeição e a felicidade.
Relação entre a Antiga Aliança realizada no Sinai e a Nova Aliança realizada por Jesus Cristo.
Deus educa o Seu povo:
A vida litúrgica do povo de Deus: lugares, actos e ministros do culto; influência da lei e dos actos de culto na formação do povo de Deus.
A liturgia da Antiga Aliança e suas relações com a liturgia da Nova Aliança.
Os salmos na vida litúrgica e na piedade dos Hebreus e dos cristãos.
Deus dá ao Seu povo o país que lhe havia prometido:
Conquista da Palestina pelas Hebreus, com a ajuda especial e miraculosa de Deus. Os juízes, protectores especiais que Deus mandava ao Seu povo. Os reis, como delegados de Deus; os principais reis - David e Salomão.
Noção cristã do amor à pátria e da obediência às autoridades legítimas.
Deus orienta o Seu povo por meio dos profetas:
Noção de profeta e de profecia. A mensagem religiosa e moral dos profetas transmitida ao povo de Deus. Profecias messiânicas.
Para purificar o Seu povo, Deus permite o exílio:
Os Israelitas afastam-se do cumprimento da vontade de Deus e perseguem os Seus profetas. A perda da independência como castigo da infidelidade a Deus e dos pecados contra a justiça e contra a caridade.
Função providencial do exílio, como castigo e purificação do povo israelita.
Daniel, Tobias, Ester ... figuras relevantes do povo israelita no exílio; lições religiosas, morais e cívicas das suas vidas.
Regresso do exílio ou cativeiro; um povo purificado e fiel a Deus.
As grandes perseguições religiosas e a fidelidade do povo judeu ao seu Deus.
Jesus Cristo, o Salvador prometido:
Jesus Cristo finalidade e termo da história do povo de Deus.
2.ª classe
Este programa será desenvolvido numa correlação íntima e constante com o Evangelho, seguindo, na medida do possível, o ano litúrgico.
Ele dá o quadro geral do ensino. Este, porém, fundando-se no conhecimento e imitação de Jesus Cristo, «Caminho, Verdade e Vida», deverá ser ao mesmo tempo doutrina e vida, religião e moral, instrução e aplicação, sugerido aos alunos e por eles sentido e vivido.
Deus quer salvar todos os homens:
O mundo esperava o Salvador prometido. Deus revela pormenores cada vez mais concretos sobre a pessoa e sobre a missão do Salvador.
Noções gerais sobre a geografia, administração e a religião da Palestina e do povo judeu, nos tempos que precederam imediatamente a vinda do Salvador.
João Baptista, último dos profetas e percursor do Salvador; com ele preparou o povo judeu para que este recebesse o Salvador.
Deus envia o Seu Filho para salvar todos os homens:
Breve notícia sobre os livros do Novo Testamento que nos falam da vida e da doutrina de Jesus Cristo.
Jesus Cristo, Filho de Deus feito homem, é o Salvador prometido.
A Mãe de Jesus Cristo, nosso Salvador.
Nascimento de Jesus Cristo e os factos extraordinários com ele relacionados.
Vida oculta de Jesus em Nazaré.
Jesus santifica a vida familiar: Sacramento do Matrimónio.
Início da vida pública de Jesus e solene revelação da Sua filiação divina.
A vida de oração de Jesus. Perfeita obediência de Jesus a Seu Pai.
Jesus afirma e demonstra ser igual a Deus Pai.
Principais manifestações da infinita bondade de Jesus para com os homens.
Amor especial de Jesus para com os doentes: Sacramento da «Unção dos Enfermos».
Principais ensinamentos de Jesus.
Jesus comunica-nos a Vida sobrenatural: Sacramento do Baptismo.
Jesus restaura em nós a Vida sobrenatural, perdida pelo pecado grave: Sacramento da Penitência ou Confissão.
Jesus torna-Se o alimento da vida sobrenatural: Eucaristia - Comunhão.
Jesus oferece-Se em sacrifício para salvação de todos os homens. Paixão, Morte e Ressurreição de Jesus.
Jesus aplica-nos os frutos do Seu Sacrifício redentor: a Santa Missa.
Jesus deixa de estar fìsicamente presente na Palestina para Se tornar espiritualmente presente em toda a parte: Ascensão de Jesus.
Jesus funda a Sua Igreja e confia-a ao Espírito Santo que nos envia de junto do Pai: acção do Espírito Santo; Sacramento da Confirmação.
O novo povo de Deus fundado por Jesus Cristo e aqueles que Ele encarregou de o ensinarem, governarem e santificarem: Sacramento da Ordem.
O Corpo Místico de Cristo. A nossa morte e a nossa ressurreição.
O triunfo final de Jesus Cristo e dos Justos.
Matemática
Introdução
A actualização do ensino de uma disciplina terá de ser encarada sob duplo aspecto: o da forma e o do conteúdo. No que se refere à disciplina de Matemática do Ciclo Preparatório, a introdução de novos conteúdos deverá ser feita, por enquanto, com prudência e parcimónia, atendendo a que é necessário, primeiro que tudo, actualizar os agentes de ensino. Algumas noções fundamentais da chamada «matemática moderna», tais como as de «conjunto», «elemento de um conjunto», «inclusão», «reunião», «intersecção» e «conjunto complementar», estão já a entrar nos hábitos de ensino de grande número de professores. Trata-se de noções muito simples, que é fácil e conveniente introduzir desde já neste ciclo. Mas ir muito além de tais noções, na inserção de novos conteúdos, não parece aconselhável, pela razão indicada.
Quanto ao problema da modernização da forma, a situação já é diversa. Na realidade, tem-se vindo a registar, há vários anos, nas escolas normais do nosso ensino secundário, uma atitude de crítica construtiva e um esforço permanente no sentido de dar novos rumos à forma por que deva processar-se o ensino da Matemática, desde os primeiros anos, inclusive no que se refere à linguagem e às relações professor-aluno. Trata-se portanto, agora, de activar e, porventura, imprimir novos aspectos a esse movimento, cujo lema tem sido: non nova sed nove.
Assim, as normas que presidiram à elaboração do presente programa podem resumir-se nos seguintes pontos:
1) Dar a todo o ensino da matemática uma base tanto quanto possível intuitiva e concreta, tentando fazer surgir naturalmente os conceitos de exemplos familiares ao aluno, e conduzindo este por declive suave, quase insensível, a elaborar por si os esquemas abstractos da matemática, que depois irá, recìprocamente, aplicar em situações concretas da vida corrente, e adequadas ao clima de rápido desenvolvimento técnico-científico, que caracteriza a época presente.
2) Estimular, o mais possível, a coordenação entre o ensino da Matemática e os das restantes disciplinas, nomeadamente as de Língua Portuguesa, Ciências da Natureza, Desenho e Trabalhos Manuais, não só atendendo a que o método matemático se aplica hoje, pràticamente, a todos os ramos do saber, mas tendo ainda em conta os princípios que informa a orientação geral do Ciclo Preparatório.
3) Eliminar todos os assuntos que sobrecarregavam o anterior programa do 1.º ciclo liceal (especialmente em geometria) e que a experiência do ensino, assim como a comparação com os programas para as mesmas idades em países estrangeiros, mostraram ser prematuros nesta fase, exigindo esforço excessivo por parte do aluno.
4) Reordenar as restantes matérias segundo uma nova hierarquia, tendente a obter o máximo rendimento do assunto que, neste ciclo, se apresenta com carácter central, quer pela sua importância na estruturação da matemática, quer pelas suas aplicações concretas, através da medição e da relacionação de grandezas físicas: o estudo dos números racionais, em todas as suas formas, excepto a do cálculo com números negativos.
5) Modernizar a linguagem matemática, a partir das noções já referidas de «conjunto», «inclusão», «intersecção», etc., sem todavia provocar uma mudança brusca relativamente às tradições do nosso ensino.
6) Introduzir moderadamente, e de maneira progressiva, o uso de letras em igualdades muito simples, a propósito da definição das operações inversas (subtracção, divisão e extracções de raiz), das propriedades das operações, das fórmulas de áreas e volumes, e das equações do tipo das proporções - por se ter verificado, em experiências conduzidas com êxito, não só no estrangeiro, mas também já entre nós, que esse recurso facilita consideràvelmente ao aluno a aprendizagem da matemática, colocando-o, além disso, em condições muito mais favoráveis para a iniciação no estudo da álgebra, que se fará posteriormente.
7) Estabelecer, nas suas linhas gerais, um esquema de repetições periódicas e sistematizadas, atendendo a que a matemática é, para o aluno, uma liguagem nova que, como todas as línguas, se adquire pelo uso, pela repetição, pelo aperfeiçoamento progressivo.
8) Não perder de vista o carácter polivalente do Ciclo Preparatório e a necessidade, daí resultante, de imprimir ao ensino uma orientação mais próxima das aplicações técnicas, o que, aliás, condiz com a doutrina expressa na primeira alínea.
É óbvio que um programa elaborado segundo estas normas não poderia deixar de ser muito pormenorizado, assumindo, de certo modo, características de guia didáctico. Daí a sua extensão, que poderá causar estranheza à primeira vista, mas que não corresponde, de modo nenhum, a extensão exagerada da matéria, pois que pelo contrário, como já foi dito, houve até uma redução substancial relativamente às matérias do programa anterior do 1.ª ciclo liceal.
Deve ainda salientar-se que a orientação didáctica preconizada não impõe normas rígidas: aponta um alvo a atingir, por aproximações sucessivas, e com possíveis modificações ulteriores, deixando aos docentes e aos futuros autores de compêndios, aquela liberdade de iniciativa e de concepção pessoal que deve caracterizar, na justa medida, toda a acção pedagógica.
Convirá que os compêndios se aproximem do tipo de cadernos, com espaços a preencher pelo aluno, procurando introduzir todos os conceitos de modo operacional (o que não quer dizer estritamente «computacional») e adaptando-se às exigências de um método activo, tanto quanto possível heurístico. A linguagem dos textos deverá ser simples, adequada à idade dos alunos, constituída essencialmente por frases breves e, sempre que possível, apoiada em gravuras sugestivas.
De resto, é preciso não esquecer que o papel fundamental, no ensino, compete ao professor, à sua presença viva, e que o livro constitui apenas um instrumento de aprendizagem, entre várias outros que não devem de modo nenhum ser menosprezados: os modelos (construídos, quando possível, pelo aluno, em coordenação com a disciplina de Trabalhos Manuais), os meios audiovisuais, etc.
Na aquisição de qualquer linguagem, e em particular na da matemática, o significante não pode ser cindido do significado. Um dos grandes erros no ensino tradicional da matemática (não apenas entre nós, mas também no estrangeiro) consistia em introduzir, e não muito bem, o sinal antes do conceito, a gramática antes da semântica - o cálculo antes da ideia e ocultando a ideia.
É especialmente contra esse erro que todos os professores deverão lutar e que este programa é concebido.
1º ano
I) Conjuntos e números
As noções intuitivas de conjunto e de elemento de um conjunto, com base em exemplos familiares, mais ou menos relacionadas com os interesses e a actividade lúdica do aluno. Conjuntos construídos a partir das seus elementos e representados pela indicação destes entre chavetas (evitar o uso de letras isoladas para designar objectos, sejam eles conjuntos ou elementos).
Exemplos de conjuntos definidos por meio de propriedades num conjunto de referência (universo lógico). Conjuntos singulares. Conjunto vazio, introduzido a partir de propriedades irrealizáveis no conjunto de referência. Designação de tais conjuntos pela notação das chavetas.
Eventualmente, em coordenação com o estudo da Língua Portuguesa:
Substantivos próprios, substantivos comuns e substantivos colectivos; relacionação destas categorias gramaticais com as categorias lógicas de elemento e de conjunto. O papel dos adjectivos na definição de conjuntos por meio de propriedades. (A coordenação com o estudo da Língua Portuguesa, em casos como este, poderá também ser feita mais tarde, em revisões).
Relações de pertença e de não pertença; símbolos que as exprimem.
Relação de inclusão e uso do respectivo símbolo, para conjuntos designados pela notação das chavetas. Exemplos de inclusão entre conjuntos definidos por meio de propriedades.
Subconjuntos (ou partes) de um conjunto. Partes pròpriamente ditas (ou partes estritas).
O uso do sinal = como indicativo de identidade lógica entre objectos em geral. Identidade entre conjuntos.
Eventualmente: O verbo «ser» na linguagem corrente e as relações «pertença», «inclusão» e «igualdade».
Correspondências biunívocas. Exemplo do processo primitivo de contagem dos animais de um rebanho, por correspondência biunívoca com pedras ou riscos. Exemplos de correspondências unívocas num só sentido entre dois conjuntos.
O número de elementos de um conjunto (ou «número cardinal») como propriedade comum aos conjuntos que se possam pôr em correspondência biunívoca com esse. A letra N, como abreviatura da expressão «número de elementos de» (ou «número cardinal de»), aplicada a conjuntos representados pela notação das chavetas, em exemplos variados, a fim de marcar bem a distinção entre conjuntos e números. Os conjuntos singulares e o número 1; o conjunto vazio e o número O.
A relação menor que entre números, deduzida da relação de inclusão entre conjuntos. Uso dos sinais < e > entre cardinais de conjuntos representados pela notação das chavetas.
Sistemas de numeração. O processo primitivo das sequências de riscos para representar números; sua evolução para o sistema de numeração romana.
O sistema de numeração decimal; leitura da escrita de números neste sistema. Breve notícia histórica ilustrada acerca do sistema decimal; suas vantagens sobre a numeração romana. Distinção entre número e numeral (nome de número).
Representação de números inteiros por meio de rectângulos ou réguas a cores. Arredondamento de números (por exemplo, em populações de países ou cidades); sua representação comparativa em gráficos de barras ou colunas, usando eventualmente papel milimétrico.
Exemplos de conjuntos finitos de números e respectivos cardinais. Números muito grandes: exemplos recreativos como o do googol e o do googolplex. Ideias intuitivas de «conjunto finito» e de «conjunto infinito». Os números inteiros (0, 1, 2, ...) definidos como cardinais de conjunto finitos. O conjunto de todos os números inteiros como primeiro exemplo de conjunto infinito.
Os números inteiros como indicativos de ordem de objectos (números ordinais); exemplos que distingam os números ordinais dos cardinais, tais como: o número de cada aluno de uma turma e o número de alunos da turma; o número de cada página de um livro e o número de páginas do livro, etc. (em francês usa-se «numéro» com o significado de «número ordinal» e «nombre» com o de «número cardinal»; a operação vulgar de contagem faz corresponder a cada elemento contado um número ordinal).
Os números ordinais na linguagem corrente: primeiro, segundo, terceiro, etc.
Referência eventual aos instrumentos de contagem no mundo moderno: os contadores de água, gás e electricidade, o conta-quilómetros, os computadores, etc.
Nota. - A expressão «número inteiro», na acepção em que é aqui usada, será mais tarde substituída pela expressão «número inteiro absoluto», quando forem introduzidos os números negativos. Por enquanto não haverá risco de confusão. Também não será ainda oportuna a introdução de símbolos para designar universos numéricos.
II) Operações com números inteiros
Adição
As noções intuitivas de reunião e de intersecção de conjuntos, com base em exemplos concretos, relativos quer a conjuntos definidos por meio de propriedades (num dado universo) quer a conjutos construídos a partir dos seus elementos. Noção de «conjuntos disjuntos».
Eventualmente: O papel da conjunção copulativa «e» e o da conjunção disjuntiva «ou» na intersecção e na reunião de conjuntos definidos por meio de propriedades.
A noção de soma de dois ou mais números, como cardinal da reunião de conjuntos mùtuamente disjuntos (partindo de exemplos concretos adequados que permitam estabelecer nìtidamente a distinção entre «soma de números» e «reunião de conjuntos»). Tabuada da adição (de dupla entrada).
Propriedades comutativa e associativa da adição, observadas em exemplos com números pequenos. Iniciação no uso dos parênteses a propósito da propriedade associativa. O zero como elemento neutro da adição. Uso dos sinais = , (diferente de) < e > para construir frases matemáticas.
Intervenção das propriedades associativa e comutativa no processo usual do cálculo da soma (exemplos numéricos simples). Eventual referência às máquinas de somar de tipo digital.
Referência a outras aplicações das propriedades comutativa e associativa: provas reais da adição, cálculo da soma quando é grande o número de parcelas, cálculo mental, etc. Reconhecimento destas propriedades em tabelas estatísticas de dupla entrada. Exercícios de completação de fórmulas, de modo a obter frases verdadeiras.
Eventualmente: Distinção entre «conjunto de conjuntos» e «reunião de conjuntos». Exemplo: conjunto das turmas de um liceu e conjunto dos alunos do liceu (estes conjuntos não têm o mesmo número cardinal: o cardinal do segundo é a soma dos cardinais das diferentes turmas).
Subtracção
Noção intuitiva de conjunto complementar de um dado conjunto em relação a um outro que o contenha (com base em exemplo concreto, como no caso da adição). Introdução do símbolo \ de complementação (ler «menos»).
Eventualmente: O advérbio «não» e o conceito de «conjunto complementar».
A diferença entre dois números como cardinal do conjunto complementar (partindo de exemplos adequados, como no caso da adição).
A subtracção como operação inversa da adição. Equações do tipo a + x = b, considerando a princípio o caso em que a é um número dígito e b um número igual ou maior que a e menor que 20.
Propriedades da subtracção relativas aos seguintes tipos de operações: subtrair de uma soma um número menor ou igual a uma das parcelas; subtrair de um número uma soma; subtrair de uma soma outra soma, cujas parcelas sejam ordenadamente inferiores ou iguais às da primeira (partindo de exemplos concretos simples, mas progressivos, evitando enunciadas verbais). Propriedade da invariância do resto. Novas instruções sobre o uso dos parênteses, a propósito destas propriedades.
Intervenção das referidas propriedades na justificação do processo usual do cálculo da subtracção (com exemplos simples). A prova real da subtracção baseada na própria definição. Nova referência eventual às máquinas de calcular digitais.
Equações dos tipos a - x = b e x - a = b; sua resolução baseada na definição de subtracção (segundo a qual o aditivo é sempre igual à soma do subtractivo com o resto). Problemas concretos conducentes a tais equações.
Cardinal da reunião de conjuntos não disjuntos, em problemas simples de tipo estatístico. Uso dos diagramas de Venn (a cores).
Multiplicação
Exemplos de reuniões de dois ou mais conjuntos disjuntos com o mesmo número de elementos. Utilização desses exemplos para introduzir a noção de produto de dois números (multiplicador e multiplicando) como soma de parcelas iguais ao multiplicando. Numerais multiplicativos: «o dobro», «o triplo», etc. Tabuada pitagórica da multiplicação.
Contagem dos elementos de uma matriz (quadro de figuras, de nomes, de carteiras, de aulas, etc.), por linhas e por colunas, com o objectivo de levar o aluno a ver a propriedade comutativa da multiplicação. Multiplicação de um número por 1 (elemento neutro) e por 0.
A propriedade distributiva da multiplicação a respeito da adição, induzida de exemplos simples da vida corrente e usada nos dois sentidos da igualdade que a exprime. Novas instruções sobre o uso dos parênteses.
Mutiplicações por 10, 100, 1000, etc. Intervenção das propriedades comutativa e distributiva no processo usual de cálculo do produto (em exemplos simples, considerando primeiro o caso do multiplicador com um só algarismo e depois, eventualmente, o caso do multiplicador com dois algarismos). Nova referência ocasional às máquinas de calcular digitais. Exercícios de completação de fórmulas, de modo a obter frases verdadeiras.
A multiplicação sucessiva (ou iterada). Propriedades associativa e comutativa. Cálculo de expressões numéricas muito simples, em que intervenham quando muito parênteses redondos, segundo as convenções usuais.
As potências introduzidas como abreviaturas de produtos de factores iguais. As propriedades do produto de potências com a mesma base ou com o mesmo expoente, reconhecidas como consequências das propriedades comutativa e associativa da multiplicação em exemplos numéricos simples.
Divisão
Exercícios simples de decomposição de um dado conjunto em dois ou mais conjuntos disjuntos com o mesmo número de elementos (quando tal seja possível). Exemplos da vida corrente que conduzem a tais repartições equitativas. Utilização desses exemplos para introduzir o conceito de divisão (exacta), como operação inversa da multiplicação. Equações do tipo a x x = b (a princípio, com a
10 e b < 100); casos particulares: a = b, a = 1 e b = 0.
A divisão de um produto de dois números por um deles, aplicando a própria definição de divisão; extensão ao caso de mais de dois factores. Propriedade relativa à divisão de um produto por um número, quando um dos factores é divisível por esse número (sem exigência de enunciados a decorar).
Exemplos de casos em que a divisão exacta não é possível: tenta-se resolver uma equação do tipo a x x = b (com a < 10 e b < 100) e encontram-se dois números inteiros consecutivos cujo produto por a é respectivamente menor e maior que b. Conceito de divisão inteira (com quociente inteiro e resto). Divisões por 10, 100, etc. Exemplos concretos.
Eventualmente: Outro modo de achar o quociente e o resto: por subtracções sucessivas do divisor a partir do dividendo (referência às máquinas de calcular). Justificação do processo habitual da divisão com exemplos simples.
Noções de múltiplo e de submúltiplo de um número. Relacionação dos numerais partitivos com a divisão exacta por 2, por 3, etc. (metade de um número, a terça parte de um número, etc.) e com os numerais multiplicativos (o dobro da metade, a metade do dobro, o triplo da terça parte, etc.). Numerais partitivo-multiplicativos (dois terços de um número, cinco quartos de um número, etc.) e sua expressão abreviada em forma de fracção.
Exercícios mentais recreativos: jogos que consintam em «adivinhar» o número em que pensa outra pessoa, depois de esta dizer o resultado de duas operações simples sucessivas efectuadas a partir desse número. Tradução desses problemas em equações dos tipos (x + a) x b = c, a x x + b = c, etc., sendo a, b e c números pequenos. Operações inversas das operações representadas por fracções, nos referidos jogos; por exemplo: sabendo que 2/3 de um número é tanto, achar esse número (verifica-se então que o inverso de 2/3 é 3/2, o inverso de 4/3 é 3/4, etc.).
III) Números racionais
Estudo de situações concretas em que a divisão exacta não é possível com quociente inteiro, mas em que pode ser efectuada dividindo (partindo ou fraccionando) os objectos em partes iguais, o que conduz naturalmente a considerar números fraccionários. Por exemplo: 3 tablettes de chocolate a dividir por 4 pessoas (resultado: 3/4 de tablette por pessoa); 7 bolos a dividir por 3 pessoas (resultado: 7/3 de bolo a cada pessoa), etc. Exemplos como o último, em que o dividendo é maior que o divisor, levam a substituir o resultado em forma de fracção simples pelo resultado em forma mista (2 1/3, no exemplo anterior). Exercícios de divisão em que seja pedido o quociente exacto sob forma mista.
Casos concretos em que as unidades não podem ser fraccionadas: por exemplo, a divisão exacta de 3 discos de música por 4 pessoas é impossível sem destruir os discos.
Casos em que as unidades são fraccionadas mentalmente (por exemplo: 3/4 de hora).
Exemplos concretos progressivos que levem o aluno a admitir intuitivamente a propriedade de equivalência de fracções (2/4 de hora é o mesmo que meia hora, 2/3 de hora é o mesmo que 4/6 de hora ou 40/60 de hora; 5/4 de litro é o mesmo que 10/8 de litro, etc.). Uso de figuras (rectângulos, círculos, etc.) para o mesmo fim.
Caso em que a fracção representa um número inteiro (exemplo: 12/4 da hora é o mesmo que 3 horas). Fracções de denominador 1.
Os números fraccionários definidos como operadores representados por fracções. Identidade dos números representados por fracções equivalentes. Números racionais; o conjunto dos racionais como reunião de dois conjuntos disjuntos: o conjunto dos inteiros e o conjunto dos fraccionários.
Aplicações da propriedade da equivalência de fracções: a) Simplificação de fracções; b) Substituição de duas fracções equivalentes com o mesmo denominador, para comparar os respectivos valores. Exercícios de completação de fórmulas.
Exemplos concretos progressivos que levem o aluno a admitir intuitivamente os conceitos de soma e de diferença de números racionais (3/4 de hora + 5/4 de hora = 8/4 de hora, 1 litro de leite - 1/4 de litro de leite = 3/4 de litro de leite, etc.). Regras da adição e da subtracção de fracções.
Observar que a preposição «de» equivale ao sinal de multiplicação quando liga numerais multiplicativos; exemplo: o dobro do triplo de um número é 6 vezes esse número (2 x 3 = 6). Adopção da mesma equivalência para numerais partitivos: 1/2 de 1/3 = 1/6; escreve-se então 1/2 x 1/3 = 1/6 (por convenção). Convenção análoga para os numerais partitivo-multiplicativos. Produto de dois ou mais números racionais.
Problemas de carácter lúdico, cuja resolução consista em inverter um número racional, inteiro ou fraccionário (treinos em jogos de «pensar em números»). Equações do tipo a x x = b, sendo a e b números racionais (a (diferente de) o), considerando primeiro o caso em que b e x são inteiros. A divisão de um número racional por outro, como operação inversa da multiplicação (equivalente a multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor). Tomada de consciência do facto culminante no estudo dos racionais: a divisão exacta entre números racionais diferentes de zero é sempre possível (ao contrário do que sucede com os inteiros). Verificação da permanência, no campo racional, das propriedades indicadas para as operações no campo dos inteiros (de maneira natural e progressiva, quando venha a propósito, no decurso dos cálculos). Verificar que a divisão não é comutativa nem associativa e que só tem elemento neutro à direita.
O uso do traço de fracção como sinal de divisão. Fracções com termos fraccionários. Cálculo de expressões numéricas fraccionárias bastante simples, em que intervenham, quando muito, parênteses redondos (segundo as convenções usuais).
Equações dos tipos a : x = b, x : a = b e dos tipos equivalentes:
(a/x) = b, (x/a) = b, a = (b/x), a = (x/b), sendo a, b números racionais (aplicando sempre a definição de divisão). Problemas concretos que se resolvem por meio de tais equações.
Potências de números fraccionários. Propriedades do quociente de potências com a mesma base ou com o mesmo expoente, aplicando propriedades anteriores e usando o traço de fracção como sinal de divisão.
Notas. - a) Como ainda não se introduziram os números negativos, a designação «número racional» é aqui usada, evidentemente, na acepção de «número racional absoluto» (isto é «não negativo»); b) Embora o estudo sistemático da medição de grandezas deva ser feito mais tarde, convém desde já recorrer moderadamente, em exercícios, a unidades de medida conhecidas do aluno.
IV) Cálculo com decimais
Distinção entre «fracção ordinária» e «fracção decimal». Transformação de fracções ordinárias simples (de denominadores 2, 5, 25 ou 4) em fracções decimais equivalentes, aplicando a propriedade fundamental da equivalência. Escrita abreviada das fracções decimais por meio de vírgulas.
Nota. - Genèricamente, todas as expressões do sistema de numeração decimal, incluindo as de inteiros, serão chamadas «numerais decimais» (não existem pròpriamente números decimais, mas apenas números racionais, que podem eventualmente ser representados por fracções decimais ou numerais decimais). Parte inteira e parte decimal; unidades decimais; leitura de numerais decimais. Concretizações com gráficos e unidades de comprimento (metro, decímetro, etc.).
Número de décimos, centésimos, etc., contidos num dado número inteiro.
Operações de adição, subtracção e multiplicação, com fracções decimais, segundo as regras aplicáveis a fracções quaisquer. Tradução desses cálculos em escrita abreviada (isto é, utilizando numerais decimais), a fim de justificar o cálculo com decimais já aprendido na escola primária, e reconhecido agora como caso particular do cálculo com fracções.
Multiplicação e divisão por potências de 10. Divisões que conduzem a quociente com vírgula e a resto zero (por exemplo, dividir 13 por 4 equivale a dividir 1300 centésimos por 4, o que dá 325 centésimos, ou seja 13/4 = 3,25, etc.). Observação de casos em que nunca se pode chegar a resto zero; noção intuitiva de dízima infinita periódica.
Arredondamento de numerais decimais; valores aproximados de um número a menos de 1/10, 1/100, etc., ou a menos de 1, 10, 100, etc.
O papel do cifrão como vírgula nas contas de dinheiro em moeda portuguesa. Problemas concretos relativos a preços, lucros, despesas, etc.
As percentagens como nova forma das fracções decimais. Passagem de umas formas a outras; por exemplo:
38% = 38/100 = 0,38; 78,5% = 78,5/100 = 0,785;
140% = 140/100 = 1,4; 21/36 (aproximadamente) 0,583 = 58,3%, etc.
O cálculo de percentagens, reduzido ao cálculo com decimais, em problemas directos ou inversos, referentes a dados estatísticos, descontos, acréscimos relativos, composições de misturas, etc. (partindo de situações familiares ao aluno e aproveitando a oportunidade para rever as noções de reunião e intersecção de conjuntos, conjunto complementar, etc.). Gráficos de percentagens: gráficos de sectores circulares e gráficos de barras ou colunas. Tabelas numéricas estatísticas de dupla entrada.
V) Medição de comprimentos
Emprego dos adjectivos «comprido», «largo», «alto», «espesso», «profundo», etc., e seus antónimos, nos graus positivo e comparativo, aplicados a vários objectos: mesas, carteiras, salas, réguas, fitas, etc. Substantivos abstractos correspondentes: «comprimento», «largura», etc. Comparação de comprimentos de objectos (de preferência réguas coloridas de uma colecção) para formular juízos dos seguintes teores:
O comprimento do objecto A é maior (ou menor) que o comprimento do objecto B.
Os objectos A e B têm o mesmo comprimento.
O comprimento de A é igual à soma dos comprimentos de B e de C.
O comprimento de A é o dobro (ou o triplo, ou o quádruplo, etc.) do comprimento de B.
A ideia intuitiva de segmento de recta sugerida por arestas de sólidos (especialmente réguas), fios esticados, etc. Salientar o seguinte: quando dois segmentos de recta têm o mesmo comprimento, eles são necessàriamente iguais (isto é, geomètricamente iguais), ao contrário do que sucede com os objectos de uso corrente; o comprimento de um segmento é, portanto, uma propriedade comum a todos os segmentos que lhe são iguais e só a esses; mas é óbvio que um segmento não é a mesma coisa que o comprimento desse segmento (distinção análoga à que se fez entre «conjunto» e «cardinal desse conjunto»); porém, quando o comprimento de um segmento é maior que o de outro, também se diz que o primeiro segmento é maior que o segundo.
Observar ainda que os termos «largura», «altura», «profundidade» e «espessura», aplicados a diversos objectos, se referem sempre a comprimentos de segmentos de recta considerados nesses objectos.
Adição de comprimentos representados por segmentos de recta (por abuso de linguagem, também se pode falar de adição de segmentos). Divisão de um segmento de recta em segmentos iguais, por meio de régua e esquadro. Construção de múltiplos e submúltiplos de comprimentos dados, empregando a régua, o compasso e o esquadro.
Medição de comprimentos, larguras, alturas, etc., utilizando como unidades o palmo e o pé (da própria pessoa que mede) ou ainda o comprimento de um fio ou do uma régua, exprimindo o resultado em números inteiros, a menos do uma unidade, por defeito ou por excesso. Medição de comprimentos de segmentos de recta, traçados no papel ou no quadro, tomando para unidade o comprimento de um desses segmentos (em vez de «medir o comprimento de um segmento», também se pode dizer «medir o segmento»). Casos em que a medida é um número inteiro (medida exacta e medida aproximada, por defeito ou por excesso). Submúltiplos da unidade; medidas fraccionárias (exactas ou aproximadas). Razão (ou quociente) entre dois comprimentos.
Medição do comprimento de linhas quebradas e de linhas curvas (por exemplo, medição do perímetro de uma mesa redonda ou da circunferência de uma coluna por meio de um fio), tomando para unidade um comprimento escolhido arbitràriamente. Noções intuitivas de paralelo e de meridiano, por observação de um globo terrestre (em coordenação com o estudo das ciências).
Vantagens da adopção de unidades, tanto quanto possível invariáveis. Primeira definição do metro, a partir do meridiano terrestre. Inconvenientes desta definição; segunda definição do metro. Alusão eventual ao facto de se ter adoptado recentemente uma nova definição de metro.
Múltiplos e submúltiplos usuais do metro. Medições com réguas graduadas e fitas métricas. Referências ao nónio e a Pedro Nunes.
Comprimentos pequenos. Exemplo das espessuras de um vidro, de um papel e de um cabelo, comparadas em ampliação. Comprimentos microscópicos; submúltiplos decimais do milímetro; o mícron. Alusão eventual à unidade X usada em microfísica (o número de unidades X num milímetro é igual ao número de milímetros em 10000 quilómetros).
Alusão às unidades adaptadas antes do sistema métrico e às unidades inglesas. Vantagens do sistema métrico, relacionadas com o sistema de numeração decimal.
VI) Medição de tempos
Comparação de tempos em diversos exemplos concretos: duração de uma aula, duração de um recreio, tempo de execução de um trabalho, tempo decorrido entre dois acontecimentos, etc. Tempos iguais (exemplo dos compassos e ritmos musicais, do metrónomo, do ritmo cardíaco, etc.).
A necessidade da escolha de unidades de tempo tanto quanto possível invariáveis. O dia solar verdadeiro e o dia solar médio. As definições usuais de hora, minuto e segundo.
Instrumentos antigos para a medição de tempos: o relógio de sol, a ampulheta e a clepsidra. O relógio humano: observar que a unidade segundo é aproximadamente igual ao tempo de uma pulsação do coração humano, mas que o número de pulsações por minuto é variável.
Referência ao isocronismo das pequenas oscilações do pêndulo. Relógios vulgares e cronómetros. Referência eventual à cronometragem de provas desportivas e de fenómenos físico-químicos.
O microssegundo e o nanossegundo como unidades de tempo nos mais modernos computadores (o nanossegundo é para o segundo o que o segundo é para 30 e tal anos). Referência eventual ao relógio atómico e à nova definição de segundo.
Comparação de tempos muitos grandes, em assuntos astronómicos, geológicos ou biológicos.
Cálculos de tempos em forma complexa (por exemplo, em horas, minutos e segundos, ou em dias, horas, minutos e segundos). Passagem a formas incomplexas e vice-versa. Adição e subtracção de tempos em forma complexa; multiplicação e divisão por números inteiros pequenos.
VII) Medição de velocidades
Uso dos advérbios de tempo «depressa» e «devagar» e dos adjectivos «rápido» (ou «veloz») e «lento» (ou «vagaroso»), nos graus positivo e comparativo. O substantivo abstracto «rapidez» (ou «velocidade») aplicado em diversas circunstâncias.
Velocidade média da marcha de uma pessoa em metros por minuto. Corridas pedestres: records registados em diversas modalidades de provas desportivas.
Velocidade média de um veículo em quilómetros por hora durante uma viagem. Noção intuitiva de velocidade num dado instante, como velocidade média num intervalo de tempo muito pequeno a que pertença esse instante. Função do velocímetro de um automóvel comparada com a do conta-quilómetros. O acelerador: noção intuitiva de movimento uniforme (velocidade constante), movimento acelerado (velocidade crescente) e movimento retardado (velocidade decrescente).
A velocidade de um projéctil ou foguetão em metros por segundo. Passagem de medidas em quilómetro-hora (km/h) para metros por segundo (m/s) (e vice-versa), a propósito de viagens espaciais. Outros problemas concretos.
Velocidade do som, aviões supersónicos. Velocidade da luz: distâncias astronómicas em anos-luz.
VIII) Introdução concreta à geometria
Propriedades geométricas dos corpos: forma, extensão e situação. Finalidade da geometria: estudo destas propriedades. Sinónimo familiar de «forma»: «feitio»; sinónimos familiares de «extensão»: «tamanho», «grandeza»; sinónimos familiares de «situação»: «sítio», «lugar».
Comparação de objectos nos seguintes casos: a) Os objectos têm forma e tamanhos diferentes; b) Os objectos têm a mesma forma, mas tamanhos diferentes; c) Os objectos têm a mesma forma e o mesmo tamanho, mas cores diferentes; d) Os objectas têm a mesma forma, a mesma grandeza, a mesma cor e a mesma substância:
diferem só pela situação.
Comparação entre sólidos e líquidos, entre líquidos e gases (neste momento aparece o termo «volume» em vez de «extensão»). Chamar a atenção do aluno para o facto de não existirem corpos perfeitamente sólidos (ou rígidos): exemplo das dilatações com o calor e das compressões; importância deste facto na construção de casas, pontes, máquinas, etc.
Observação de sólidos geométricos, com o duplo objectivo de aperfeiçoar a linguagem e a intuição geométrica (sem definições): cubos, esferas, paralelepípedos, cilindros, cones, prismas, pirâmides, octaedros, etc. Os sólidos geométricos na técnica, na arte e na natureza: observação de gravuras, cristais, pedras ou vidros facetados, etc.
Os advérbios de lugar «dentro» e «fora» e os adjectivos correspondentes «interior» e «exterior». A superfície (ou fronteira) de um sólido concebida como a parte do sólido que o separa do exterior. Poliedros e sólidos redondos; faces, arestas e vértices de um poliedro.
A noção de superfície sugerida por objectos de espessura desprezável: observação em modelos de madeira, lâmina, cartolina ou plástico (quando possível, construídos pelo aluno). Superfícies abertas e superfícies fechadas (convirá que as superfícies fechadas se possam obter por ligação de superfícies abertas e sejam adaptáveis a superfícies de sólidos da colecção). Bordo de uma superfície aberta; observação da linha ou das linhas de que é formado. Superfícies planas: polígonos (triângulos, quadriláteros, etc.); lados e vértices de um polígono; círculos, coroas circulares e sectores circulares. Superfícies poliédricas, superfícies curvas e superfícies mistas; superfícies laterais e superfícies totais de cilindros e de cones; superfícies esféricas.
Nota. - Emprega-se aqui a expressão «superfície plana» na acepção intuitiva de «porção de plano».
A noção de linha sugerida por modelos de fio metálico pouco deformáveis. Linhas abertas e linhas fechadas (convirá que as linhas fechadas se possam adaptar ao bordo de superfícies abertas da colecção). Extremos de uma linha aberta: pontos. Segmentos de recta, linhas quebradas (ou poligonais), linhas curvas e linhas mistas. Medição de comprimentos (revisão).
O conceito de área (extensão) de uma superfície, a partir dos exemplos concretos da área de um terreno, de um pavimento, etc. Exemplos intuitivos de duas superfícies que não sejam iguais e tenham a mesma área (utilizando modelos). Medição da área de rectângulos (em particular quadradas), no caso simples em que as dimensões do rectângulo são múltiplas da unidade de comprimento. Unidades de área do sistema métrico; unidades agrárias (revisão sistematizada de conhecimentos adquiridos na escola primária).
Extensão de um sólido (volume). Exemplos intuitivos de dois sólidos que não sejam iguais e tenham o mesmo volume (utilizando modelos). Medição do volume de paralelepípedos rectângulos (em particular cubos), no caso em que as dimensões são múltiplas da unidade de comprimento. Unidades de volume do sistema métrico; medição do volume de um liquído; unidades de capacidade (revisão sistematizada de conhecimentos adquiridos na escola primária).
Nota. - É recomendado o emprego de colecções de quadrados e de cubos que concretizem as unidades de área de volume e sirvam para construir rectângulos e paralelepípedos respectivamente.
Complementos circunstanciais de lugar, em exemplos sugestivos que ponham em evidência a relatividade da noção de lugar (ou situação): «Leiria está situada ao norte de Lisboa e ao sul de Coimbra», «O rato está dentro da caixa, mas fora da ratoeira», «O avião está a voar sobre o monte Branco, a 10 km de altitude», etc. (Assim, o lugar de uma coisa é uma propriedade que essa coisa tem relativamente a outras que tomamos para referência; as mudanças de lugar ou posição chamam-se movimentos, que têm portanto carácter relativo, tal como os lugares.) Exemplos que ponham em evidência a relatividade da noção de movimento: o passageiro que vai sentado e o passageiro que caminha, dentro de um comboio ou de um avião; movimentos em relação à Terra, em relação ao Sol, em relação à Lua, etc.
A noção de ponto material, como corpo de dimensões nulas - ideia cómoda e prática (tal como a de sólido), sugerida por um grão de pó, pelo sinal que fazemos com a ponta do lápis, etc. Distinção entre «ponto material» e «ponto geométrico»: os pontos geométricos são apenas os lugares (ou posições) dos pontos materiais, em relação a um corpo de referência, por exemplo a Terra. O espaço relativo a um corpo, definido como o conjunto de todos os possíveis pontos geométricos em relação a esse corpo (normalmente, quando se disser «espaço» simplesmente, poderá pensar-se no espaço relativo à Terra). A noção intuitiva de linha, como conjunto das posições de um ponto material que se move (exemplo dos riscos, mais ou menos arbitrários, feitos com o giz ou com o lápis).
Síntese final: um corpo dá-nos a ideia de um conjunto de pontos materiais; o lugar ocupado pelo corpo dá-nos a ideia de um conjunto de pontos geométricos (linha, superfície, sólido geométrico, etc.). É destes últimos conjuntos que se ocupa a geometria.
IX) Elementos de geometria plana (com referência à geometria do espaço)
Maneira de verificar se uma aresta de uma régua é aproximadamente rectilínea (quando dois pontos de um sólido se mantêm fixos num movimento, o mesmo sucede com os outros pontos do sólido que estão em linha recta com esses; movimentos de rotação). Verificação experimental da propagação rectilínea da luz. Maneiras de verificar se três pontos do espaço estão em linha recta: processo da régua, processo do fio esticado e processo da mira.
A recta como primeiro exemplo de linha ilimitada no espaço - conjunto de todos os pontos do espaço que estão em linha recta com dois pontos dados não coincidentes (por dois pontos distintos do espaço passa sempre uma recta e uma só).
Uso da preposição «entre» em complementos circunstanciais de lugar (exemplos com objectos, alunos de uma turma, etc.). Aplicação a pontos de uma recta. O segmento de recta como conjunto formado por dois pontos distintos (os extremos) e por todos os pontos situados em linha recta entre os primeiros. Uso das locuções «à direita de» e «à esquerda de», em complementos circunstanciais de lugar, em relação a uma pessoa (por exemplo, professor ou aluno). Ordenação dos pontos de uma recta (comparação eventual com ordem no tempo, expressa pelas locuções prepositivas «antes de» e «depois de»). Divisão de uma recta em duas semi-rectas.
Maneira de verificar se uma face de um sólido é plana ou empenada. Prolongamento ideal de uma superfície plana no espaço. O plano como primeiro exemplo de superfície ilimitada (que se distingue pela propriedade de conter toda a recta que passa por dois pontos distintos quaisquer da superfície).
Linhas fechadas simples no plano. Noções de «ponto interior» e de «ponto exterior» em relação à linha: o conjunto formado pelos pontos interiores à linha e pelos pontos da linha é uma superfície plana limitada, que tem essa linha por fronteira (chamada bordo da superfície, no espaço»). Exemplos concretos: fronteira de um país (considerada num mapa); periferia de uma cidade; contorno de uma figura; limite (ou estrema) de uma propriedade, etc. O comprimento da fronteira chama-se perímetro da superfície. (É preciso não esquecer que os exemplos concretos são sempre realizações imperfeitas dos modelos matemáticos e é importante que o aluno vá tomando consciência desse facto).
O caso particular das circunferências. Definições rigorosas de circunferência e de círculo; raios, cordas e diâmetros. Medição de perímetros de objectos circulares e dos respectivos diâmetros para ter a ideia de que é constante a razão entre os primeiros e os segundos. Definição do número pi como valor exacto dessa razão constante; alusão ao facto de ser representado por uma dízima infinita não periódica (número irracional); valores aproximados de pi usados na prática. Uso da fórmula C = pi x D, para cálculo do comprimento de uma circunferência a partir do diâmetro; problema inverso (conceito de divisão). Exemplo concreto: cálculo do percurso de um automóvel a partir do número de rotações das rodas e do diâmetro das mesmas (nova referência ao conta-quilómetros).
Caso das linhas quebradas (ou poligonais) fechadas simples; os pontos do plano interiores à linha e os pontos da linha formam um polígono (não interessa considerar polígonos estrelados). Lados e vértices. Polígonos convexos e polígonos côncavos. Diagonais. Noção geral de «conjunto convexo». Outros exemplos de conjuntos convexos e de conjuntos côncavos. Linhas poligonais inscritas numa curva.
Nota. - O estudo do comprimento da circunferência pode ser feito após o das linhas poligonais inscritas.
A noção intuitiva de igualdade geométrica, introduzida a partir dos deslocamentos. Reprodução de figuras por decalque ou por impressão. Maneira de verificar se duas figuras são iguais, por correspondência pontual biunívoca em que se mantenham as distâncias (isometrias); caso particular dos triângulos e das circunferências.
Construção de um triângulo cujos lados tenham comprimentos dados. Condição para que o problema seja possível: qualquer lado de um triângulo é menor que a soma dos outros dois (um segmento de recta é o mais curto caminho entre os seus extremos).
Construção de um triângulo cujos lados sejam três réguas articuladas nos extremos: o objecto obtido é rígido. Construção análoga de um quadrilátero: o objecto construído não é rígido. A aplicação da rigidez do triângulo nas cúpulas geodésicas.
Divisão do plano em semiplanos. Semi-rectas com origem comum: ângulo convexo e ângulo côncavo. A noção intuitiva do «ângulo gerado por uma semi-recta»; ângulos nulo, raso e giro. Ângulos mais abertos ou menos abertos (quando um ângulo é mais aberto que outro também se diz que é maior que o outro); a abertura ou amplitude de um ângulo como propriedade comum a todos os que lhe são iguais.
Soma de dois ou mais ângulos. Múltiplos e submúltiplos de um ângulo. Divisão de um ângulo em partes iguais por dobragem do papel. Ângulo recto: maneira de verificar se um ângulo de um esquadro é recto; ângulos agudos e ângulos obtusos. Bissectriz de um ângulo: divisão de um ângulo em duas partes iguais, em quatro partes iguais, etc.; divisão de um ângulo recto em três partes iguais (com régua e compasso). O ângulo recto, o ângulo raso e o ângulo giro, como unidades de medida. O grau, o minuto e o segundo sexagesimais. Medição de ângulos com transferidor. Referência ao teodolito e a outros instrumentos de medição de ângulos; o papel da matemática nos descobrimentos marítimos dos Portugueses; nova referência ao nónio e a Pedro Nunes.
Ângulo ao centro, numa circunferência: arco e sector circular correspondentes a esse ângulo; distinção entre abertura (ou amplitude) de um arco e comprimento do mesmo.
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