Portaria n.º 490/70 — Manda aplicar, nas escolas de habilitação de professores de posto escolar das províncias ultramarinas, os programas do…

As noções intuitivas de conjunto e de elemento de um conjunto, com base em exemplos familiares, mais ou menos relacionados com os interesses e a actividade lúdica do aluno. Conjuntos construídos a partir dos seus elementos e representados pela indicação destes entre chavetas (evitar o uso de letras isoladas para designar objectos, sejam eles conjuntos ou elementos).

Relações de pertença e de não pertença; símbolos que as exprimem.

Correspondências biunívocas. Exemplo do processo primitivo de contagem dos animais de um rebanho, por correspondência biunívoca com perdas ou riscos. Exemplos de correspondências unívocas num só sentido entre dois conjuntos.

A relação menor que entre números, deduzida da relação de inclusão entre conjuntos. Uso dos sinais < e > entre cardinais de conjuntos representados pela notação das chavetas.

Sistemas de numeração. O processo primitivo das sequências de riscos para representar números; sua evolução para o sistema de numeração romana.

Exemplos de conjuntos finitos de números e respectivos cardinais. Números muito grandes: exemplos recreativos como o do googol e do googolplex. Ideias intuitivas de «conjunto finito» e de «conjunto infinito». Os números inteiros (0, 1, 2, ...) definidos como cardinais de conjunto finitos. O conjunto de todos os números inteiros como primeiro exemplo de conjunto infinito.

Os números inteiros como indicativos de ordem de objectos (números ordinais); exemplos que distingam os números ordinais dos cardinais, tais como: o número de cada aluno de uma turma e o número de alunos da turma; o número de cada página de um livro e o número de páginas do livro, etc. (em francês usa-se numéro com o significado de «número ordinal» e nombre com o de «número cardinal»; a operação vulgar de contagem faz corresponder a cada elemento contado um número ordinal).

As noções intuitivas de reunião e de intersecção de conjuntos, com base em exemplos concretos, relativos quer a conjuntos definidos por meio de propriedades (num dado universo), quer a conjuntos construídos a partir dos seus elementos. Noção de «conjuntos disjuntos».

A noção de soma de dois ou mais números, com o cardinal da reunião de conjuntos mùtuamente disjuntos (partindo de exemplos concretos adequados que permitam estabelecer nìtidamente a distinção entre «soma de números» e «reunião de conjuntos»). Tabuada da adição (de dupla entrada).

Propriedades comutativa e associativa da adição, observadas em exemplos com números pequenos. Iniciação no uso dos parênteses a propósito da propriedade associativa. O zero como elemento neutro da adição. Uso dos sinais =, (diferente de) < e > para construir frases matemáticas.

Intervenção das propriedades associativa e comutativa no processo usual do cálculo da soma (exemplos numéricos simples). Eventual referência às máquinas de somar de tipo digital.

Referência a outras aplicações das propriedades comutativa e associativa: provas reais da adição, cálculo da soma quando é grande o número de parcelas, cálculo mental, etc. Reconhecimento destas propriedades em tabelas estatísticas de dupla entrada. Exercícios de completação de fórmulas, de modo a obter frases verdadeiras.

Noção intuitiva de conjunto complementar de um dado conjunto em relação a um outro que o contenha (com base em exemplo concreto, como no caso da adição). Introdução do símbolo \ de complementação (ler «menos»).

A diferença entre dois números como cardinal do conjunto complementar (partindo de exemplos adequados, como no caso da adição).

A subtracção como operação inversa da adição. Equações do tipo a + x = b, considerando a princípio o caso em que a é um número dígito e b um número igual ou maior que a e menor que 20.

Propriedades da subtracção relativas aos seguintes tipos de operações: subtrair de uma soma um número menor ou igual a uma das parcelas; subtrair de um número uma soma; subtrair de uma soma outra soma, cujas parcelas sejam ordenadamente inferiores ou iguais às da primeira (partindo de exemplos concretos simples, mas progressivos, evitando enunciados verbais). Propriedade da invariância do resto. Novas instruções sobre o uso dos parênteses, a propósito destas propriedades.

Intervenção das referidas propriedades na justificação do processo usual do cálculo da subtracção (com exemplos simples). A prova real da subtracção baseada na própria definição. Nova referência eventual às máquinas de calcular digitais.

Equações dos tipos a - x = b e x - a = b; sua resolução baseada na definição de subtracção (segundo a qual o aditivo é sempre igual à soma do subtractivo com o resto). Problemas concretos conducentes a tais equações.

Cardinal da reunião de conjuntos não disjuntos, em problemas simples de tipo estatístico. Uso dos diagramas de Venn (a cores).

Exemplos de reuniões de dois ou mais conjuntos disjuntos com o mesmo número de elementos. Utilização desses exemplos para introduzir a noção de produto de dois números (multiplicador e multiplicando) como soma de parcelas iguais ao multiplicando. Numerais multiplicativos: «o dobro», «o triplo», etc. Tabuada pitagórica da multiplicação.

Contagem dos elementos de uma matriz (quadro de figuras, de nomes, de carteiras, de aulas, etc.), por linhas e por colunas, com o objectivo de levar o aluno a ver a propriedade comutativa da multiplicação. Multiplicação de um número por 1 (elemento neutro) e por 0.

Multiplicações por 10, 100, 1000, etc. Intervenção das propriedades comutativa e distributiva no processo usual de cálculo do produto (em exemplos simples, considerando primeiro o caso do multiplicador com um só algarismo e depois, eventualmente, o caso do multiplicador com dois algarismos). Nova referência ocasional às máquinas de calcular digitais. Exercícios de completação de fórmulas, de modo a obter frases verdadeiras.

A multiplicação sucessiva (ou iterada). Propriedades associativa e comutativa. Cálculo de expressões numéricas muito simples, em que intervenham quando muito parênteses redondos, segundo as convenções usuais.

As potências introduzidas como abreviaturas de produtos de factores iguais. As propriedades do produto de potências com a mesma base ou com o mesmo expoente, reconhecidas como consequências das propriedades comutativa e associativa da multiplicação em exemplos numéricos simples.

Exercícios simples de decomposição de um dado conjunto em dois ou mais conjuntos disjuntos com o mesmo número de elementos (quando tal seja possível). Exemplos da vida corrente que conduzem a tais repartições equitativas. Utilização desses exemplos para introduzir o conceito de divisão (exacta), como operação inversa da multiplicação. Equações do tipo a x x = b (a princípio, com a

A divisão de um produto de dois números por um deles, aplicando a própria definição de divisão; extensão ao caso de mais de dois factores. Propriedade relativa à divisão de um produto por um número (sem exigência de enunciados a decorar).

Exemplos de casos em que a divisão exacta não possível: tenta-se resolver uma equação do tipo a x x = b (com a < 10 e b < 100) e encontram-se dois números inteiros consecutivos cujo produto por a é respectivamente menor e maior que b. Conceito de divisão inteira (com quociente inteiro e resto). Divisões por 10, 100, etc. Exemplos concretos.

Noções de múltiplo e de submúltiplo de um número.

Exercícios mentais recreativos: jogos que consistam em «adivinhar» o número em que pensa outra pessoa, depois de esta dizer o resultado de duas operações simples sucessivas efectuadas a partir desse número. Tradução desses problemas em equações dos tipos (x + a) x b = c, a x x + b = c, etc., sendo a, b e c números pequenos. Operações inversas das operações representadas por fracções, nos referidos jogos; por exemplo: sabendo que 2/3 de um número é tanto, achar esse número (verifica-se então que o inverso de 2/3 é 3/2, o inverso de 4/3 é 3/4, etc.).

Estudo de situações concretas em que a divisão exacta não é possível com quociente inteiro, mas em que pode ser efectuada dividindo (partindo ou fraccionando) os objectos em partes iguais, o que conduz naturalmente a considerar números fraccionários. Por exemplo: 3 tablettes de chocolate a dividir por 4 pessoas (resultado 3/4 de tablette por pessoa); 7 bolos a dividir por 3 pessoas (resultado: 7/3 de bolo a cada pessoa), etc. Exemplos como o último, em que o dividendo é maior que o divisor, levam a substituir o resultado em forma de fracção simples pelo resultado em forma mista (2(1/3), no exemplo anterior). Exercícios de divisão em que seja pedido o quociente exacto sob forma mista.

Exemplos concretos progressivos que levam o aluno a admitir intuitivamente a propriedade de equivalência de fracções (2/4 de hora é o mesmo que meia hora, 2/3 de hora é o mesmo que 4/6 de hora ou 40/60 de hora; 5/4 de litro é o mesmo que 10/8 de litro, etc.). Uso de figuras (rectângulos, círculos, etc.) para o mesmo fim.

Os números fraccionários definidos como operadores representados por fracções. Identidade dos números representados por fracções equivalentes. Números racionais; o conjunto dos racionais como reunião de dois conjuntos disjuntos: o conjunto dos inteiros e o conjunto dos fraccionários.

Aplicações de propriedade da equivalência de fracções: a) Simplificação de fracções; b) Substituição de duas fracções equivalentes com o mesmo denominador, para comparar os respectivos valores. Exercícios de completação de fórmulas.

Exemplos concretos progressivos que levem o aluno a admitir intuitivamente os conceitos de soma e de diferença de números racionais (3/4 de hora + 5/4 de hora = 8/4 de hora, 1 litro de leite - 1/4 de litro de leite = 3/4 de litro de leite, etc.). Regras da adição e da subtracção de fracções.

Observar que a preposição «de» equivale ao sinal de multiplicação quando liga numerais multiplicativos; exemplo: o dobro do triplo de um número é 6 vezes esse número (2 x 3 = 6). Adopção da mesma equivalência para numerais partitivos: 1/2 de 1/3 = 1/6; escreve-se então 1/2 x 1/3 = 1/6 (por convenção). Convenção análoga para os numerais partitivo-multiplicativos. Produto de dois ou mais números racionais.

Problemas de carácter lúdico, cuja resolução consista em inverter um número racional, inteiro ou fraccionário (treinos em jogos de «pensar em números»). Equações do tipo a x x = b, sendo a e b números racionais (a (diferente de) o), considerando primeiro o caso em que b e x são inteiros. A divisão de um número racional por outro, como operação inversa da multiplicação (equivalente a multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor). Tomada de consciência do facto culminante no estudo dos racionais: a divisão exacta entre números racionais diferentes de zero é sempre possível (ao contrário do que sucede com os inteiros). Verificação da permanência, no campo racional, das propriedades indicadas para as operações no campo dos inteiros (de maneira natural e progressiva, quando venha a propósito, no decurso dos cálculos). Verificar que a divisão não é comutativa nem associativa e que só tem elemento neutro à direita.

O uso do traço de fracção como sinal de divisão. Fracções com termos fraccionários. Cálculo de expressões numéricas fraccionárias bastante simples, em que intervenham, quando muito, parênteses redondos (segundo as convenções usuais).

Equações dos tipos a : x = b, x : a = b e dos tipos equivalentes:

Potências de números fraccionários. Propriedades do quociente de potências com a mesma base ou com o mesmo expoente, aplicando propriedades anteriores e usando o traço de fracção como sinal de divisão.

Distinção entre «fracção ordinária» e «fracção decimal». Transformação de fracções ordinárias simples (de denominadores 2, 5, 25 ou 4) em fracções decimais equivalentes, aplicando a propriedade fundamental da equivalência. Escrita abreviada das fracções decimais por meio de vírgulas.

Operações de adição, subtracção e multiplicação com fracções decimais, segundo as regras aplicáveis a fracções quaisquer. Tradução desses cálculos em escrita abreviada (isto é, utilizando numerais decimais), a fim de justificar o cálculo com decimais já aprendido na escola primária, e reconhecido agora como caso particular do cálculo com fracções.

Multiplicação e divisão por potências de 10. Divisões que conduzem a quociente com vírgula e a resto zero (por exemplo, dividir 13 por 4 equivale a dividir 1300 centésimos por 4, o que dá 325 centésimos, ou seja 13/4 = 3,25, etc.). Observação de casos em que nunca se pode chegar a resto zero; noção intuitiva de dízima infinita periódica.

O papel do cifrão como vírgula nas contas de dinheiro em moeda portuguesa. Problemas concretos relativos a preços, lucros, despesas, etc.

As percentagens como nova forma das fracções decimais. Passagem de umas formas a outras; por exemplo:

Emprego dos adjectivos «comprido», «largo», «alto», «espesso», «profundo», etc., e seus antónimos, nos graus positivo e comparativo, aplicados a vários objectos: mesas, carteiras, salas, réguas, fitas, etc. Substantivos abstractos correspondentes: «comprimento», «largura», etc. Comparação de comprimentos de objectos (de preferência réguas coloridas de uma colecção) para formular juízos dos seguintes teores:

A ideia intuitiva de segmento de recta sugerida por arestas de sólidos (especialmente réguas), fios esticados, etc. Salientar o seguinte: quando dois segmentos de recta têm o mesmo comprimento, eles são necessàriamente iguais (isto é, geomètricamente iguais), ao contrário do que sucede com os objectos de uso corrente; o comprimento de um segmento é, portanto, uma propriedade comum a todos os segmentos que lhe são iguais e só a esses; mas é óbvio que um segmento não é a mesma coisa que o comprimento desse segmento (distinção análoga à que se fez entre «conjunto» e «cardinal desse conjunto»); porém, quando o comprimento de um segmento é maior que o de outro, também se diz que o primeiro segmento é maior que o segundo.

Adição de comprimentos representados por segmentos de recta (por abuso de linguagem, também se pode falar de adição de segmentos). Divisão de um segmento de recta em segmentos iguais, por meio de régua e esquadro. Construção de múltiplos e submúltiplos de comprimentos dados, empregando a régua, o compasso e o esquadro.

Medição de comprimentos, larguras, alturas, etc., utilizando como unidades o palmo e o pé (da própria pessoa que mede), ou ainda o comprimento de um fio ou de uma régua, e exprimindo o resultado em números inteiros, a menos de uma unidade, por defeito ou por excesso. Medição de comprimentos de segmentos de recta, traçados no papel ou no quadro, tomando para unidade o comprimento de um desses segmentos (em vez de «medir o comprimento de um segmento», também se pode dizer «medir o segmento»). Casos em que a medida é um número inteiro (medida exacta e medida aproximada por defeito ou por excesso). Submúltiplos da unidade; medidas fraccionárias (exactas ou aproximadas). Razão (ou quociente) entre dois comprimentos.

Medição do comprimento de linhas quebradas e de linhas curvas (por exemplo, medição do perímetro de uma mesa redonda ou da circunferência de uma coluna por meio de um fio), tomando para unidade um comprimento escolhido arbitràriamente. Noções intuitivas de paralelo e de meridiano, por observação de um globo terrestre (em coordenação com o estudo das ciências).

Vantagens da adopção de unidades, tanto quanto possível invariáveis. Primeira definição do metro, a partir do meridiano, terrestre. Inconvenientes desta definição; segunda definição do metro. Alusão eventual ao facto de se ter adoptado recentemente uma nova definição de metro.

Comprimentos pequenos. Exemplo das espessuras de um vidro, de um papel e de um cabelo, comparadas em ampliação. Comprimentos microscópicos; submúltiplos decimais do milímetro; o mícron. Alusão eventual à unidade X usada em microfísica (o número de unidades X num milímetro é igual ao número de milímetros em 10000 quilómetros).

Alusão às unidades adoptadas antes do sistema métrico e às unidades inglesas. Vantagens do sistema métrico, relacionadas com o sistema de numeração decimal.

Comparação de tempos em diversos exemplos concretos: duração de uma aula, duração de um recreio, tempo de execução de um trabalho, tempo decorrido entre dois acontecimentos, etc. Tempos iguais (exemplo dos compassos e ritmos musicais, do metrónomo, do ritmo cardíaco, etc.).

A necessidade da escolha de unidades de tempo tanto quanto possível invariáveis. O dia solar verdadeiro e o dia solar médio. As definições usuais de hora, minuto e segundo.

O microssegundo e o nanossegundo como unidades de tempo nos mais modernos computadores (o nanossegundo é para o segundo o que o segundo é para 30 e tal anos). Referência eventual ao relógio atómico e à nova definição de segundo.

Cálculos de tempos em forma complexa (por exemplo, em horas, minutos e segundos, ou em dias, horas, minutos e segundos). Passagens a formas incomplexas e vice-versa. Adição e subtracção de tempos em forma complexa; multiplicação e divisão por números inteiros pequenos.

Propriedades geométricas dos corpos: forma, extensão e situação. Finalidade da geometria: estudo destas propriedades. Sinónimo familiar de «forma»: «efeito»; sinónimos familiares de «extensão»: «tamanho»; «grandeza»; sinónimos familiares de «situação»: «sítio», «lugar».

Observação de sólidos geométricos, com o duplo objectivo de aperfeiçoar a linguagem e a intuição geométrica (sem definições): cubos, esferas, paralelepípedos, cilindros, cones, prismas, pirâmides, octaedros, etc. Os sólidos geométricos na técnica, na arte e na natureza: observação de gravuras, cristais, pedras ou vidros facetados, etc.

Os advérbios de lugar «dentro» e «fora» e os adjectivos correspondentes «interior» e «exterior». A superfície (ou fronteira) de um sólido concebida como a parte do sólido que o separa do exterior. Poliedros e sólidos redondos; faces, arestas e vértices de um poliedro.

A noção de linha sugerida por modelos de fio metálico pouco deformáveis. Linhas abertas e linhas fechadas (convirá que as linhas fechadas se possam adaptar ao bordo de superfícies abertas da colecção). Extremos de uma linha aberta: pontos. Segmentos de recta, linhas quebradas (ou poligonais), linhas curvas e linhais mistas. Medição de comprimentos (revisão).

O conceito de área (extensão) de uma superfície, a partir dos exemplos concretos da área de um terreno, de um pavimento, etc. Exemplos intuitivos de duas superfícies que não sejam iguais e tenham a mesma área (utilizando modelos). Medição da área de rectângulos (em particular quadrados), no caso simples em que as dimensões do rectângulo são múltiplas da unidade de comprimento. Unidades de área do sistema métrico; unidades agrárias (revisão sistematizada de conhecimentos adquiridos na escola primária).

Extensão de um sólido (volume). Exemplos intuitivos de dois sólidos que não sejam iguais, e tenham o mesmo volume (utilizando modelos). Medição do volume de paralelepípedos rectângulos (em particular cubos), no caso em que as dimensões são múltiplas da unidade de comprimento. Unidades de volume do sistema métrico; medição do volume de um líquido; unidades de capacidade (revisão sistematizada de conhecimentos adquiridos na escola primária).

Complementos circunstanciais de lugar, em exemplas sugestivos que ponham em evidência a relatividade da noção de lugar (ou situação): «Leiria está situada ao norte de Lisboa e ao sul de Coimbra», «O rato está dentro da caixa, mas fora da ratoeira», «O avião está a voar sobre o monte Branco, a 10 km de altitude», etc. (Assim, o lugar de uma coisa é uma propriedade que essa coisa tem relativamente a outras que tomamos para referência; as mudanças de lugar ou posição chamam-se movimentos, que têm portanto carácter relativo, tal como os lugares.) Exemplos que ponham em evidência a relatividade da noção de movimento: o passageiro que vai sentado e o passageiro que caminha, dentro de um comboio ou de um avião; movimentos em relação à Terra, em relação ao Sol, em relação à Lua, etc.

A noção de ponto material, como corpo de dimensões nulas - ideia cómoda e prática (tal como a de sólido), sugerida por um grão de pó, pelo sinal que fazemos com a ponta do lápis, etc. Distinção entre «ponto material» e «ponto geométrico»: os pontos geométricos são apenas os lugares (ou posições) dos pontos materiais, em relação a um corpo de referência, por exemplo a Terra. O espaço relativo a um corpo, definido como o conjunto de todos os possíveis pontos geométricos em relação a esse corpo (normalmente, quando se disser «espaço» simplesmente, poderá pensar-se no espaço relativo à Terra). A noção intuitiva de linha, como o conjunto das posições de um ponto material que se move (exemplo dos riscos, mais ou menos arbitrários, feitos com o giz ou com o lápis).

Maneira de verificar se uma aresta de uma régua é aproximadamente rectilínea (quando dois pontos de um sólido se mantêm fixos num movimento, o mesmo sucede com os outros pontos do sólido que estão em linha recta com esses; movimentos de rotação). Verificação experimental da propagação rectilínea da luz. Maneiras de verificar se três pontos do espaço estão em linha recta: processo da régua, processo do fio esticado e processo da mira.

Uso da preposição «entre» em complementos circunstanciais de lugar (exemplos com objectos, alunos de uma turma, etc.). Aplicação a pontos de uma recta. O segmento de recta como conjunto formado por dois pontos distintos (os extremos) e por todos os pontos situados em linha recta entre os primeiros. Uso das locuções «à direita de» e «à esquerda de», em complementos circunstanciais de lugar, em relação a uma pessoa (por exemplo, professor ou aluno). Ordenação dos pontos de uma recta (comparação eventual com ordem no tempo, expressa pelas locuções prepositivas «antes de» e «depois de»). Divisão de uma recta em duas semi-rectas.

Maneira de verificar se uma face de um sólido é plana ou empenada. Prolongamento ideal de uma superfície plana no espaço. O plano como primeiro exemplo de superfície ilimitada (que se distingue pela propriedade de conter toda a recta que passa por dois pontos distintos quaisquer da superfície).

Linhas fechadas simples no plano. Noções de «ponto interior» e de «ponto exterior» em relação à linha: o conjunto formado pelos pontos interiores à linha e pelos pontos da linha é uma superfície plana limitada, que tem essa linha por fronteira (chamada «bordo da superfície, no espaço»). Exemplos concretos: fronteira de um país (considerada num mapa); periferia de uma cidade; contorno de uma figura; limite (ou estrema) de uma propriedade, etc. O comprimento da fronteira chama-se perímetro da superfície. (É preciso não esquecer que os exemplos concretos são sempre realizações imperfeitas dos modelos matemáticos e é importante que o aluno vá tomando consciência desse facto.)

O caso particular das circunferências. Definições rigorosas de circunferência e de círculo, raios, cordas e diâmetros. Medição de perímetros de objectos circulares e dos respectivos diâmetros para ter a ideia de que é constante a razão entre os primeiros e os segundos. Definição do número (pi) como valor exacto dessa razão constante; alusão ao facto de (pi) ser representado por uma dízima infinita não periódica (número irracional); valores aproximados de (pi) usados na prática. Uso da fórmula C = (pi) x D, para cálculo do comprimento de uma circunferência a partir do diâmetro; problema inverso (conceito de divisão). Exemplo concreto: cálculo do percurso de um automóvel a partir do número de rotações das rodas e do diâmetro das mesmas (nova referência ao conta-quilómetros).

Caso das linhas quebradas (ou poligonais) fechadas simples; os pontos dos planos interiores à linha e os pontos da linha formam um polígono (não interessa considerar polígonos estrelados). Lados e vértices. Polígonos convexos e polígonos côncavos. Diagonais. Noção geral de «conjunto convexo». Outros exemplos de conjuntos convexos e de conjuntos côncavos. Linhas poligonais inscritas numa curva.

A noção intuitiva de igualdade geométrica, introduzida a partir dos deslocamentos. Reprodução de figuras por decalque ou por impressão. Maneira de verificar se duas figuras são iguais, por correspondência pontual biunívoca em que se mantenham as distâncias (isometrias); caso particular dos triângulos e das circunferências.

Construção de um triângulo cujos lados tenham comprimentos dados. Condição para que o problema seja possível: qualquer lado de um triângulo é menor que a soma dos outros dois (um segmento de recta é o mais curto caminho entre os seus extremos).

Divisão do plano em semiplanos. Semi-rectas com origem comum: ângulo convexo e ângulo côncavo. A noção intuitiva do «ângulo gerado por uma semi-recta»; ângulos nulo, raso e giro. Ângulos mais abertos ou menos abertos (quando um ângulo é mais aberto que outro também se diz que é maior que o outro); a abertura ou amplitude de um ângulo como propriedade comum a todos os que lhe são iguais.

Soma de dois ou mais ângulos. Múltiplos e submúltiplos de um ângulo. Divisão de um ângulo em partes iguais por dobragem do papel. Ângulo recto: maneira de verificar se um ângulo de um esquadro é recto; ângulos agudos e ângulos obtusos. Bissectriz de um ângulo: divisão de um ângulo em duas partes iguais, em quatro partes iguais, etc.; divisão de um ângulo recto em três partes iguais (com régua e compasso). O ângulo recto, o ângulo raso e o ângulo giro, como unidades de medida. O grau, o minuto e o segundo sexagesimais. Medição de ângulos com transferidor. Referência ao teodolito e a outros instrumentos de medição de ângulo; o papel da matemática nos descobrimentos marítimos dos Portugueses; nova referência ao nónio e a Pedro Nunes.

Ângulo ao centro, numa circunferência; arco e sector circular correspondentes a esse ângulo; distinção entre abertura (ou amplitude) de um arco e comprimento do mesmo.

Ângulos internos de um polígono. Etimologia das palavras «triângulo» («trígono» ou «trilátero»), «quadrilátero» («quadrângulo» ou «tetrágono»), «pentágono», «hexágono», etc., e «polígono». Polígonos regulares. Classificação dos triângulos quanto a lados e quanto a ângulos (estudo elementar).

Posição relativa de duas rectas no plano: rectas concorrentes e rectas paralelas (em particular, coincidentes); rectas perpendiculares e rectas oblíquas. O caminho mais curto para ir de um ponto a uma recta; definição de distância de um ponto a uma recta. Exemplos de rectas que não se encontram, sem serem paralelas (construção de viadutos para evitar cruzamentos); definição de rectas paralelas no espaço. Exemplos de movimentos de translação: rectilíneos (um esquadro que desliza apoiado numa régua, um comboio que avança numa recta, etc.) e curvilíneos (exemplos como o da Grande Roda do Prater de Viena,). Os movimentos de rotação e de translação da Terra em relação ao Sol. Traçado de paralelas com régua e esquadro; distância entre duas paralelas. O paralelogramo. Classificação dos quadriláteros (estudo elementar).

Planos horizontais; rectas horizontais e rectas verticais. O nível da bolha de ar e o fio de prumo na construção civil. (As rectas verticais em Lisboa não são verticais em relação a Nova Iorque: as noções de «vertical», «horizontal», «em cima», «ao norte», «a leste», etc., são noções geográficas que deixam de ter sentido numa nave espacial longe da Terra.

Leitura e construção de gráficos cartesianos no primeiro quadrante (papel milimétrico).

Revisão sistematizada dos conhecimentos adquiridos no 1.º e 2.º anos, dando o máximo relevo aos conceitos de base. Exercícios e complementos.

Exemplos sugestivos que conduzem às noções de congruência e de classe de congruência a respeito de um dado número inteiro: conjuntos de alunos numerados em ordem circular, com repetição; a aritmética das horas no mostrador de um relógio, etc. Propriedades das congruências, a respeito da adição e da multiplicação, estabelecidas, progressivamente, a partir de exemplos numéricos, em situações concretas como as referidas anteriormente. Tabelas de adição e da multiplicação de classes de congruência em casos simples (tabelas com duas entradas); referência aos contadores mecânicos e às máquinas de somar (no sistema decimal de numeração).

As potências como abreviaturas de produtos de factores iguais. Revisão das propriedades fundamentais das potências reconhecidas como consequências de propriedades da multiplicação e da divisão, e da própria definição de potência (a partir de exemplos numéricos e usando de preferência o traço de fracção como sinal de divisão). Tradução dessas propriedades em fórmulas simbólicas. Cálculo das expressões numéricas simples, em que se torne cómodo aplicar essas propriedades. Uso de tabelas de quadrados e de cubos, para facilitar o cálculo das potências.

O papel das potências de 10 no sistema de numeração decimal. Passagem, por analogia, ao sistema de base 2; exemplos de operações com números representados neste sistema; referência aos computadores electrónicos e a sistemas de numeração em outras bases.

Conjunto dos divisores comuns de dois números (em exemplos simples, aplicando a ideia de intersecção de conjuntos). Máximo divisor comum de dois números. Números primos entre si.

Revisão sistematizada dos conhecimentos adquiridos no 1.º e 2.º anos, dando o máximo relevo aos conceitos de base. Exercícios e complementos.

Igualdades numéricas do tipo a : b = c : d, primeiramente nesta forma e depois na forma equivalente (a/b) = (c/d). Estudo destas igualdades, aplicando o estudo anterior, sobre cálculo com fracções, e introduzindo agora as expressões «proporção», «razão» (sinónimo de «quociente»), «meios», «extremos», «a está para b assim como c está para d», etc. Notar que, em virtude da propriedade da equivalência das fracções, se tem: (a/b) = (c/d) quando e só quando a x d = b x c.

Problema da divisão de um número em partes proporcionais a números dados, segundo o método directo, baseado na interpretação intuitiva do problema. Por exemplo: a expressão «dividir o número 60 em partes proporcionais a 2 e 3» significa «achar dois números tais que um deles esteja para 60 assim como 2 está para 2 + 3 (= 5), e o outro esteja para 60 assim como 3 está para 5». Tal interpretação imediatamente reduz o problema, por exemplo, à resolução da equação (x/60) = (2/5), donde x = (2/5) x 60 = 24; será este o primeiro número, e o segundo será 60 - 24 = 36.

Cálculo de percentagem, como caso particular do cálculo com decimais, tal como se fez no 1.º e 2.º anos, em problemas relativos a composições centesimais de substâncias e a frequências relativas de atributos num dado universo ou população, fazendo uso dos conceitos de reunião e intersecção de conjuntos e de conjunto complementar. Leitura e construção de gráficos circulares de percentagens (de preferência a cores), fazendo uso do transferidor. Médias aritméticas.

Uso dos advérbios «talvez», «provàvelmente», «com certeza», «quase com certeza», etc. Os substantivos abstractos «probabilidade» e «certeza». Acontecimentos raros e acontecimentos frequentes; frequências relativas de acontecimentos em percentagens. A ideia de probabilidade como frequência relativa de um acontecimento, prevista no futuro.

Cálculo de percentagens em problemas, directos ou inversos, relativos a descontos e a acréscimos relativos (de quaisquer grandezas). Cálculo do juro que rende um capital no período de um ano com uma determinada taxa (expressa em percentagem, ao ano): cálculo do mesmo capital acrescido do juro, ao fim de um ano, de dois anos, de três anos, etc., com juros compostos; cálculo do juro simples, sem períodos inferiores a um ano; problemas inversos, por meio de equações (sem uso de fórmulas).

Moeda estrangeira e câmbios, em problemas muito simples. Sistema inglês de unidades monetárias.

Revisão dos conhecimentos adquiridos no 1.º e 2.º anos. Exercícios e complementos.

Intersecção de duas rectas, de uma recta com uma circunferência e de duas circunferências; estudo dos diferentes casos possíveis no plano, atendendo às distâncias relativas e introduzindo a nomenclatura adequada a cada caso (relacionar com o problema de construção de um triângulo, dados os comprimentos dos seus lados), posição relativa de recta tangente a uma circunferência e do raio no ponto de tangência. Tangentes comuns a duas circunferências. Razão entre os comprimentos de duas circunferências. Problemas concretos relativos a transmissão de movimentos entre rodas por meio de engrenagens, correias, veios, etc.; exemplo da transmissão de movimentos em automóveis.

Simetrias em relação a pontos e a rectas no plano. Construção da figura simétrica de uma figura dada, por dobragem de papel ou por meio de régua, compasso e esquadro. Centros e eixos de simetria de uma figura. Planos de simetria. A simetria na arte e na natureza.

Os adjectivos «quente» e «frio» e os substantivos abstractos «calor» e «temperatura». Leitura das escalas termométricas, em graus e décimos de grau (coordenação com o ensino das Ciências da Natureza). Introdução dos números negativos como simples abreviaturas de linguagem, para designar as temperaturas abaixo de zero.

O problema da medição de áreas de terrenos, levantado há milhares de anos no Egipto pelas cheias do Nilo. Significado etimológico da palavra «geometria».

Terrenos contíguos; passagem desta noção concreta à noção abstracta de superfícies contíguas. Princípios elementares em que assenta a medição da área (ou extensão) de uma superfície: a) Superfícies iguais têm a mesma área; b) A reunião de duas superfícies contíguas tem área igual à soma das áreas dessas superfícies. Decomposição e composição de superfícies para mostrar que duas superfícies podem ter a mesma área sem serem iguais (por exemplo: decomposição de um quadrado em dois triângulos pela diagonal e construção de um triângulo isósceles formado pela reunião de dois triângulos contíguos, iguais aos primeiros). Superfícies equivalentes, isto é, superfícies com a mesma área.

Medição da área de rectângulos desenhados no papel (ou no quadro preto), tomando para unidade a área de um quadrado. Estudo no caso em que as dimensões do rectângulo (comprimento e largura, ou base e altura) são múltiplos das dimensões do quadrado. Estudo do caso oposto: medidas do rectângulo, em números inteiros, por defeito e por excesso. Caso particular em que o rectângulo a medir é também um quadrado.

Traçado de uma linha fechada simples em papel milimétrico e medição da área da superfície limitada por essa linha, contando todos os quadrados do reticulado - centímetros quadrados ou milímetros quadrados - contidos nessa superfície (medida por defeito) e todos os quadrados que contêm pelo menos uma parte da superfície (medida por excesso). Referência ao instrumento usado para a medição de áreas de superfícies limitadas por linhas no papel: o planímetro.

Transformação de um paralelogramo num rectângulo equivalente, por decomposição e recomposição. Fórmula da área do paralelogramo deduzida por este processo.

Estudo da área de um sector circular, por decomposição em sectores cada vez mais estreitos e substituição dos respectivos arcos pelas cordas de modo a obter triângulos. Dedução intuitiva, por este processo, da fórmula da área do sector circular: metade do produto do comprimento do arco pelo raio (aplicando a propriedade distributiva).

Problemas de aplicação concreta. Leitura e interpretação de plantas de terrenos, bem como de plantas, alçados, perfis e cortes de casas. Determinação de áreas de superfícies representadas desse modo, atendendo à escala. Cálculos simples de despesas envolvendo áreas, preços unitários, etc.

Problema da construção de um quadrado, cuja área seja dada; equações do tipo x(elevado a 2) = a, sendo a um número positivo dado; noção de raiz quadrada; exemplos com quadrados perfeitos. O operador «raiz quadrada de» como inverso do operador «quadrado de» (o quadrado da raiz quadrada de um número é esse número; a raiz quadrada do quadrado de um número é esse número); tradução desse facto, primeiro em fórmulas numéricas, depois em fórmulas com letras: (elevado a 2) = a; ([ver documento original](https://files.diariodarepublica.pt/1s/1970/10/23001/00010042.pdf)).

Trabalhos práticos de planificação das superfícies de prismas, pirâmides, cilindros e cones (de revolução) e de construção de modelos destes sólidos em cartolina. Dar a ideia de como, uma vez planificada a superfície, é possível determinar a sua área, aplicando as fórmulas anteriores (o que interessa essencialmente, nestes casos, são as ideias, não os cálculos). Exemplo de uma superfície não planificável: a superfície esférica; alusão à existência de uma fórmula que permite achar a área da superfície esférica a partir do raio.

Ideias fundamentais em que assenta o conceito de volume (ou extensão) de um sólido geométrico: a) Sólidos iguais têm o mesmo volume; b) A reunião de dois sólidos contíguos tem volume igual à soma dos volumes desses sólidos. Noção de sólidos equivalentes (analogia com a noção de equivalência de superfícies).

Prismas retangulares (ou paralelepípedos rectângulos). Medição do volume de um prisma, tomando para unidade o volume de um cubo dado. Processas de medição análogos aos que foram indicados para a área do rectângulo.

Medição do volume de um líquido por meio de uma proveta graduada. Medição do volume de um sólido por imersão em água contida numa proveta graduada. Volume de um gás a pressão e a temperatura constantes. Referência aos contadores de água e de gás.

Prismas rectos e prismas oblíquos. Modelos que permitam mostrar: a) Como um prisma recto, cuja base é um paralelogramo, se pode transformar num prisma rectangular equivalente; b) Como dois prismas rectos triangulares iguais se podem reunir num prisma cuja base é um paralelogramo (convirá primeiro usar prismas de altura pequena em relação à base, e mesmo de altura unitária, para se ver bem a analogia com o que se fez a respeito das áreas). Dedução intuitiva, por este processo, da fórmula do volume do prisma recto de base triangular. Generalização intuitiva desta fórmula ao caso de um prisma recto qualquer e do cilindro de revolução (justificar a expressão «cilindro de revolução»).

Problemas da construção de um cubo sendo dado o seu volume; equações do tipo x(elevado a 3) = a, sendo a um número positivo dado, noção de raiz cúbica: exemplos com cubos perfeitos. O operador «raiz cúbica de» como inverso do operador «cubo de» e as fórmulas respectivas: ([ver documento original](https://files.diariodarepublica.pt/1s/1970/10/23001/00010042.pdf)). Uso de tabelas de raízes cúbicas. Equações do tipo a x x(elevado a 3) = b, sendo a e b números positivos dados.

Os adjectivos «pesado» e «leve», nos graus positivo e comparativo, e o substantivo abstracto «peso». Conversão da frase: «A é mais pesado que B» na frase equivalente: «O peso de A é maior que o peso de B». O peso de um corpo como força (por exemplo a força muscular que empregamos para manter um corpo suspenso com a mão: se o largarmos, o corpo cai - o peso é a força que faz cair). O adjectivo «grave» como sinónimo de «pesado» e o substantivo abstracto «gravidade»; o conceito de peso como força da gravidade, que solicita os corpos para o centro da Terra (ou de outros astros). Como medir os pesos: a balança de mola ou dinamómetro (em que a força é medida pelo deslocamento da mola). Um facto de importância capital: o peso de um corpo depende do lugar onde ele estiver (é maior nos pólos do que no equador, diminui com a altitude, é muito menor na Lua do que na Terra, chega a ser nulo em viagens espaciais). O verbo «ponderar» como sinónimo de «pesar»; alusão ao «estado de imponderabilidade».

O conceito de massa (ou quantidade de matéria) baseado nas seguintes ideias: a) Dois corpos têm a mesma massa, quando têm o mesmo peso no mesmo lugar; b) A massa da reunião de dois corpos (sem pontos comuns) é a soma das massas desses dois corpos; c) A massa de um corpo não varia com o lugar.

O quilograma, como unidade de massa do sistema métrico decimal - aproximadamente igual à massa de um litro de água (destilada, à temperatura de 4ºC). Múltiplos e submúltiplos usuais do quilograma.

O quilograma como unidade de peso (e mais geralmente de força) em determinadas condições. Razão pela qual, nos assuntos da vida corrente, se diz «peso» em vez de «massa» e «pesar» em vez de «medir a massa»; a necessidade de distinguir os dois conceitos em assuntos científicos.

Uma frase corrente que é preciso rectificar com a máxima insistência: «O quilo é igual ao litro» (chegando a escrever-se: 1 kg = 1 l). Outros abusos de linguagem: «O chumbo é mais pesado que a madeira», «A madeira é mais leve que a água (por isso flutua)», «O ar quente é mais leve que o ar frio (por isso é que sobem os balões)», etc. Em vez de «mais pesado» e «mais leve«, deve dizer-se nestes casos: «mais denso» e «menos denso» (donde o substantivo abstracto «densidade»). A noção de densidade de um sólido ou de um líquido em relação à água (destilada a 4ºC); cálculo da massa a partir do volume e da densidade; referência ao densímetro. (O abuso de linguagem de «mais pesado» e «mais leve», em vez de «mais denso» e «menos denso» pode admitir-se, desde que esteja subentendido que se trata de comparar pesos de volumes iguais de duas substâncias.)

Relacionação do peso com a área; o conceito de pressão, com peso (ou força) por unidade de área. Referência à pressão atmosférica e ao barómetro (em coordenação com a disciplina de Ciências da Natureza).

Noção geral intuitiva de grandeza, a partir dos exemplos anteriores. Revisão dos conceitos de «correspondência unívoca e biunívoca», introduzidos no 1.º e 2.º anos a propósito da noção de cardinal de um conjunto. Novos exemplos variados, terminando com exemplos de correspondências entre conjuntos de grandezas. Por exemplo: a cada corpo corresponde um determinado volume (correspondência unívoca); ao mesmo corpo corresponde uma determinada massa (correspondência unívoca); assim, ao volume de cada corpo corresponde a massa desse corpo, mas esta correspondência pode não ser biunívoca, nem sequer unívoca. No entanto, se os corpos considerados são todos feitos da mesma substância (por exemplo, de cobre), a correspondência volume-massa é aproximadamente unívoca e até biunívoca, sendo expressa pela fórmula:

Exemplos de correspondências biunívocas (entre grandezas) que não são proporcionalidade: a área de um círculo não é proporcional ao raio, o volume de um cubo não é proporcional ao comprimento da aresta do cubo, etc. Observar que, no entanto, as próprias fórmulas A = (pi) x r(elevado a 2), V = a(elevado a 3) mostram que A é proporcional ao quadrado de r (constante de proporcionalidade: (pi)) e que V é proporcional a a(elevado a 3) (constante de proporcionalidade: 1). Referência eventual ao movimento da queda de um grave.