Portaria n.º 23181 — Aprova os programas a observar nas cadeiras, laboratórios e trabalhos gráficos que compõem os diferentes cursos…

Ouvida a 5.ª Secção da Junta Nacional da Educação:

Manda o Governo da República Portuguesa, pelo Ministro da Educação Nacional, nos termos do n.º 1 do artigo 10.º do Decreto n.º 38032, de 4 de Novembro de 1950, que nas cadeiras, laboratórios e trabalhos gráficos que compõem os diferentes cursos professados nos institutos industriais sejam observados os seguintes programas:

1.ª CADEIRA

Matemática

Característica e mantissa de um número;

Matrizes;

Sistema de numeração de base 2;

Equações diferenciais de 2.ª ordem, nos casos referidos;

Funções hiperbólicas;

Séries de Fourier;

Certos tipos de curvas.

Por isso se encara:

A utilização sistemática da régua de cálculo;

A utilização frequente de tabelas;

A introdução de técnicas de cálculo numérico, tendentes a melhorar a sensibilidade às aproximações, como é o caso da resolução numérica de equações algébricas a partir de conhecimentos elementares;

O estudo de técnicas específicas de cálculo numérico, como, por exemplo, o das fórmulas de Simpson e de Tchébychev; ou as técnicas de desenvolvimento em série; ou a aplicação numérica de diferenciais; etc.;

O abordar sistemático, sob a forma analítica e geométrica, da maioria dos fenómenos matemáticos estudados;

O recurso frequente à intuição no exame dos problemas e das conclusões;

A preocupação na verificação dos cálculos e resultados - fórmula de Mollweide, etc.

Daí, por exemplo, a alteração da ordem tradicional da matéria, iniciando o curso pelo estudo de vectores logo seguido de trigonometria.

A introdução vectorial, necessária para a física, vem acelerar o estudo da trigonometria.

Os alunos dos institutos podem transitar para as escolas superiores de engenharia. Nestes termos, dada a evolução que está a sofrer o ensino da matemática, parece indispensável que o programa dos institutos, sem perder de vista os objectivos principais, se integre na nova corrente, para que assim os alunos adquiram os conhecimentos e se familiarizem com a simbologia e a linguagem que caracterizam essa corrente e possam sentir-se em situação equivalente à dos seus colegas provenientes de outros ramos de ensino.

Não deixaram, finalmente, de ter-se em conta os problemas relacionados com a inscrição em organismos internacionais de engenharia, aberta a diplomados por escolas do mesmo nível dos institutos industriais, para deixar facilitada, como é de inteira justiça, a solução de alguns desses problemas.

Matemática - I

1) Vectores:

Introdução ao estudo do plano vectorial; vectores e sua representação geométrica; operações geométricas com vectores.

Plano vectorial; sistema ortonormal de referência; bases e vectores fundamentais.

Representação analítica de vectores; produtos de um vector por um número; produtos escalar e vectorial. Mudança de base.

2) Trigonometria:

Ângulo gerado pela rotação de um vector; generalização da noção de ângulo e de arco; medidas de ângulo. Representação de um ângulo num sistema ortonormal de referência.

Funções circulares directas; definição, variação e representação gráfica:

Funções circulares de ângulos complementares; suplementares; diferindo de pi radianos; simétricos e cuja soma é igual a 2 pi radianos.

Redução ao 1.º quadrante.

Relações entre funções circulares de um ângulo; valores destas funções para casos particulares.

Funções circulares inversas.

Fórmulas da soma e diferença de dois ângulos; da duplicação e bissecção de um ângulo.

Fórmulas de transformação logarítmica.

Tabelas trigonométricas: uso das tábuas naturais e logarítmicas.

Resolução de equações trigonométricas simples.

Aplicações do produto escalar à resolução de triângulos quaisquer:

Teoremas das projecções ou de Carnot; dos senos; dos co-senos ou de Viete.

Fórmula de Mollweide.

Aplicação a problemas simples de geometria, de mecânica e de topografia.

3) Geometria analítica:

Estudo vectorial de alguns lugares geométricos.

Distância de dois pontos.

Condições de paralelismo e de perpendicularidade.

Linha recta.

Cónicas: generalidades.

4) Noções de probabilidades e estatística:

Conjuntos e subconjuntos; amostras. Operações elementares com conjuntos. Simbologia. Diagramas de Venn.

Repartição de conjuntos. Arranjos, permutações e combinações.

Números combinatórios e suas propriedades.

Fórmula do binómio de Newton e sua extensão a um polinómio.

Noção experimental de probabilidade e dos teoremas de adição e de multiplicação. Espaço de amostras.

Distribuições estatísticas; frequências; valores característicos de uma distribuição.

Enunciado dos problemas de amostragem e da verificação estatística da qualidade.

5) Aritmética racional:

Os diferentes conceitos de número:

Os problemas da contagem e da troca; números naturais e inteiros relativos. Suas propriedades.

Sistemas de numeração. Sistemas de base 10 e base 2. Congruências. Divisibilidade. Classes de equivalência.

Os problemas da medida: números racionais e irracionais; suas propriedades. Dízimas periódicas e não periódicas. Aproximações racionais dos números irracionais. Classes contíguas.

O conjunto dos números reais e sua correspondência com o conjunto dos pontos de uma recta. Abcissa de um ponto. Característica e mantissa de um número real.

6) Álgebra:

Operações impossíveis com números reais. Números complexos. Operações com complexos na forma (a + bi).

Representação geométrica, vectorial e trigonométrica de complexos e operações simples sob estas formas. Fórmula de Moivre.

Polinómios e fracções racionais:

Polinómios a uma só variável; identidade de polinómios; raízes de um polinómio.

Operações com polinómios.

Decomposição de um polinómio em factores; divisão por (x - a); regra de Ruffini; aplicação aos polinómios na forma x(elevado a n) (mais ou menos) a(elevado a n).

Fracções racionais; sua simplificação e decomposição em somas de fracções simples.

Equações e inequações algébricas:

Equação algébrica: definição; equações equivalentes. Raízes de uma equação. Equações indeterminadas.

Equações do 1.º e 2.º graus; sua discussão.

Equações da linha recta e da parábola.

Equações redutíveis ao 2.º grau. Equações irracionais.

Resolução de inequações. Interpretação geométrica.

Equações de grau superior ao 2.º grau. Teorema fundamental da álgebra. Relações entre as raízes e os coeficientes da equação.

Equações transformadas em Kx e em (x - a).

Determinação da natureza das raízes de uma equação de coeficientes inteiros. Regra de Descartes. Localização das raízes em casos muito simples.

Determinação numérica das raízes reais de equações algébricas do 3.º e 4.º graus com coeficientes inteiros.

Sistemas de equações:

Matriz de um sistema de equações lineares. Operações elementares com matrizes. Representação matricial de um sistema.

Determinante de uma matriz; propriedades elementares. Cálculo de um determinante por desenvolvimento de uma fila. Regra de Chió.

Aplicação dos determinantes à resolução de sistemas de equações lineares. Regra de Cramer. Sistemas impossíveis e indeterminados.

Resolução geométrica de sistemas de equações envolvendo equações lineares e da forma ([ver documento original](https://files.diariodarepublica.pt/1s/1968/01/02101/00770166.pdf)) e x (sinal de «x») y = K.

Intersecção de rectas e de curvas. Discussão. Tangentes a curvas.

7) Breve introdução ao cálculo:

Relações entre conjuntos. Noção de variável e de função. Definições das funções por meio de tabelas, de gráficos ou de fórmulas.

As aproximações em física. Noção intuitiva de vizinhança, de limite e de continuidade.

Variações de uma função. Variação média e derivada como limite. Significado geométrico de derivada.

Regras elementares de derivação; derivadas de funções:

Y = x(elevado a n);

y = ax + b;

y = ax(elevado a n) + bx + c;

y = u + v;

Y = u / v;

y = sen u, e

y = cos u (com u e v funções de x).

Medição de áreas. Integral definido como medida de uma área e sua avaliação numérica.

Alguns problemas muito simples de aplicação à física e à geometria.

Observação. - No estudo desta disciplina é obrigatória a utilização sistemática de régua de cálculo.

Matemática - II

1) Funções numéricas de variável real:

Variáveis e funções:

Conjuntos numéricos; intervalos; vizinhanças. Variáveis.

Relações entre conjuntos. Aplicações injectivas, sobrejectivas e bijectivas. Funções.

Definições aritmética, geométrica e analítica de uma função. Definições explícitas e implícitas.

Funções inversas (ou recíprocas). Funções compostas.

Funções de mais de uma variável.

Limites e continuidade:

Definição de limite de uma função. Interpretação geométrica e analítica.

Propriedades dos limites.

Continuidade: noção geral e propriedades. Continuidade num ponto e num intervalo.

Pontos de descontinuidade. Descontinuidades de 1.ª e 2.ª espécies.

Infinitamente grandes e infinitamente pequenos.

Cálculo de limites de funções contínuas. Limites infinitos. Formas indeterminadas.

2) Derivadas e diferenciais:

Derivadas e diferenciais de funções de uma variável:

Derivadas de uma função, num ponto. Definição analítica e geométrica.

Função derivada de uma função dada. Métodos gráficos para a construção da função derivada.

Derivada da função composta e da função inversa.

Regras de derivação de funções algébricas e de funções transcendentes (logarítmicas, exponenciais e trigonométricas). Derivada logarítmica.

Derivadas sucessivas. Interpretação geométrica.

Diferencial de uma função, num ponto: definição analítica e interpretação gráfica. Cálculo de diferenciais.

Teoremas relativos às funções diferenciáveis. Teoremas de Rolle e dos acréscimos finitos.

Extensão dos conceitos de derivada e diferencial a funções de mais de uma variável:

Variação parcial e variação total de uma função de mais de uma variável. Derivadas parciais.

Diferencial total. Condições que a equação M dx + N dy = O deve satisfazer para que seja diferencial total (diferencial exacta) de uma função mi (x, y) = C.

Diferenciação de funções na forma implícita.

Aplicações do cálculo diferencial:

Estudo da variação das funções:

Funções crescentes e decrescentes. Máximas e mínimas de uma função. Aplicações e problemas técnicos.

Concavidade e convexidade de curvas. Pontos de inflexão.

Derivada de um arco. Curvatura, raio de curvatura, círculo osculador e centro de curvatura. Evolutas.

Estudo geral de uma função e traçado de gráficos.

Aplicação à geometria analítica:

Inclinação de uma recta. Ângulo de duas rectas.

Condições de paralelismo e de perpendicularidade.

Equações das tangentes e das normais num ponto de uma curva.

Direcções assimptóticas. Assimptotas.

Condições de tangência e de normalidade de duas curvas planas. Ramos parabólicos de uma curva. Ângulo de duas curvas.

Medidas da tangente e da normal; da subtangente e da subnormal.

Estudo das formas indeterminadas. Regra de l'Hospital.

Aplicações simples ao cálculo numérico e a cálculos aproximados.

3) Integrais:

Integral definido:

Medição de áreas. Conceito geométrico do integral definido.

Integral como limite de uma soma. Definição analítica de integral.

Propriedades do integral definido.

Valor médio e média quadrática ou eficaz de uma função, entre dois limites.

Integrais indefinidos:

Integral definindo função do seu limite superior. Integrais indefinidos.

Constante de integração. Interpretação geométrica.

Derivada do integral indefinido. Teorema fundamental do cálculo. Primitivas.

Métodos de integração:

Primitivação. Integração imediata ou quase imediata. Tabelas de integrais.

Métodos de integração por partes e por mudança de variável.

Integração de funções racionais, irracionais e transcendentes, de uso corrente na técnica.

Cálculo de integrais definidos:

Cálculo a partir do conhecimento da primitiva.

Integrais impróprios.

Cálculo numérico: métodos dos rectângulos e dos trapézios. Ordem de grandeza do erro cometido.

Fórmulas de Simpson (ou dos trapézios parabólicos) e de Tchébychev.

Funções definidas a partir de integrais:

Função logarítmica: definição de logaritmo natural; propriedades; derivada.

Função exponencial de base e; definição; propriedades; derivada.

Generalização às funções logarítmica e exponencial de qualquer base.

Aplicação dos integrais à geometria e à mecânica:

Determinação de áreas planas e de superfície de revolução.

Determinação de volumes de sólidos de revolução.

Rectificação de arcos de curvas planas.

Determinação de momentos de inércia.

Determinação de centros de gravidade.

4) Séries:

Sucessões:

Funções de variável inteira. Sucessões.

Termo geral de uma sucessão. Limite de uma sucessão.

Sucessões convergentes e divergentes.

Soma dos termos de uma sucessão. Limite da soma dos termos.

Séries numéricas:

Definições. Convergência e divergência. Série geométrica e série harmónica.

Séries de termos positivos. Condições de convergência.

Critérios de convergência: teoremas da comparação, de Cauchy e d'Alembert. Critério de integral; sua aplicação à série de Riemann.

Séries alternadas.

Séries inteiras:

Definição e propriedades elementares destas séries. Derivação e integração termo-termo.

Desenvolvimento de uma função em série inteira. Desenvolvimento de Taylor e de MacLaurin. Desenvolvimentos por derivação e integração.

Intervalos de convergência. Restos.

Funções definidas por séries:

Desenvolvimento em série das funções: exponencial, logarítmica, sen x e cos x.

Funções hiperbólicas. Definição e propriedades elementares.

Fórmulas de Euler. Representação gráfica do seno e do co-seno hiperbólicos.

Relações entre as funções hiperbólicas e as funções trigonométricas. Regra de Osborne.

Noções sobre séries de Fourier:

Definição e cálculo dos coeficientes.

Aplicação a casos correntes na técnica.

5) Equações diferenciais ordinárias:

Equações diferenciais de 1.ª ordem:

Definições e generalidades sobre equações deste tipo. Integrais gerais; integrais particulares e integrais singulares.

Equações de variáveis separáveis.

Equações homogéneas.

Equações lineares.

Equações diferenciais exactas.

Significado geométrico do integral geral. Envolvente.

Aplicações correntes à técnica.

Equações diferenciais de 2.ª ordem:

Definições e generalidades sobre equações deste tipo.

Equações da forma a y'' + b y' + c y = f (x), com a, b e c constantes e apenas nos casos seguintes:

f (x) = o - equação linear homogénea;

f (x) = P (x), sendo P (x) um polinómio em x;

([ver documento original](https://files.diariodarepublica.pt/1s/1968/01/02101/00770166.pdf)), com m constante e P (x) um polinómio;

f (x)= A cos ax + B sen ax - A, B e a constantes.

Aplicação ao estudo de fenómenos vibratórios.

6) Revisão sistemática dos problemas de geometria analítica tratados durante o curso:

Referenciais:

Referenciais no plano: sistemas cartesianos e sistemas polares. Referencial ortonormado.

Coordenadas de um ponto do plano. Representação vectorial de um ponto. Transformação de coordenadas.

Equações cartesianas, polares e paramétricas de curvas do plano.

A linha recta:

Direcções no plano. Ângulos directores. Condições de paralelismo e perpendicularidade.

Recta passando por um ou dois pontos. Outras condições.

Rectas paralelas e perpendiculares.

Problemas métricos:

Distância de dois pontos e distância de um ponto a uma recta.

Divisão de um segmento.

Ângulo de duas rectas.

Área de um triângulo.

Estudo de cónicas:

Formas quadráticas. Matriz associada. Valores próprios.

Equação geral das cónicas. Forma reduzida. As cónicas como lugares geométricos. Estudo vectorial.

Principais propriedades das cónicas.

Algumas curvas importantes:

Descrição elementar da espiral, da catenária, da cissóide e da ciclóide.

Observação. - Nas aulas práticas desta cadeira recomenda-se a utilização de máquinas de calcular e visitas de estudo a centros de cálculo automático, sempre que possível.

2.ª CADEIRA

Física Geral

1) Introdução:

Objecto da física.

Grandezas físicas. Medições e erros. Valor compensado de uma medida.

Sistemas de unidades. Unidades fundamentais e derivadas.

Sistemas C. G. S., Giorgi e métrico gravitatório. Suas unidades mecânicas. Unidades práticas. Sistema internacional.

Equações de dimensões. Aplicações.

2) Introdução matemática:

Noções elementares de funções, limite, continuidade, derivada e integral.

Noção de vector. Classificação de vectores.

Igualdade, equipolência e simetria de vectores.

Operações com vectores; suas propriedades e aplicações.

Momentos polar e axial de um vector guiado.

Breves noções sobre os sistemas de vectores guiados e sua equivalência. Noção geral de campo.

Derivada de um vector em ordem a uma variável escalar.

3) Elementos de mecânica:

Estática:

Definição, classificação e medição das forças. Composição e decomposição de forças.

Binários. Suas características.

Noções de ponto material e de sólido invariável.

Equilíbrio de um ponto e de um sistema de pontos.

Atrito. Suas leis.

Máquinas simples, tipo alavanca, sarilho e plano inclinado.

Cinemática:

Noções de repouso e movimento.

Lei vectorial do movimento.